Номер 1, страница 235 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

1. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите тангенс угла между прямой AC₁ и плоскостью BCC₁.

Пусть ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Нам нужно найти тангенс угла между прямой $AC_1$ и плоскостью $BCC_1$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Найдем проекцию прямой $AC_1$ на плоскость $BCC_1$.

Проекция точки на плоскость — это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

1. Точка $C_1$ принадлежит плоскости $BCC_1$, поэтому её проекция на эту плоскость совпадает с самой точкой $C_1$.

2. Найдем проекцию точки $A$ на плоскость $BCC_1$. Так как $ABCD$ — квадрат, то ребро $AB$ перпендикулярно ребру $BC$ ($AB \perp BC$). Также, поскольку $ABB_1A_1$ — квадрат, а $BCC_1B_1$ — квадрат, боковые ребра перпендикулярны основанию, следовательно, ребро $AB$ перпендикулярно ребру $BB_1$ ($AB \perp BB_1$).

Поскольку прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BC$ и $BB_1$) в плоскости $BCC_1$, она перпендикулярна всей плоскости $BCC_1$. Таким образом, точка $B$ является проекцией точки $A$ на плоскость $BCC_1$.

Следовательно, прямая $BC_1$ является проекцией прямой $AC_1$ на плоскость $BCC_1$.

Искомый угол $\alpha$ — это угол между прямой $AC_1$ и её проекцией $BC_1$, то есть $\alpha = \angle AC_1B$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC_1$. Так как $AB \perp (BCC_1)$, то $AB$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $BC_1$. Значит, $\triangle ABC_1$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $\angle ABC_1 = 90^\circ$.

Тангенс угла $\angle AC_1B$ в прямоугольном треугольнике $\triangle ABC_1$ равен отношению противолежащего катета $AB$ к прилежащему катету $BC_1$: $ \tan(\alpha) = \tan(\angle AC_1B) = \frac{AB}{BC_1} $

Найдем длины катетов:

• Длина катета $AB$ равна ребру куба: $AB = a$.
• Катет $BC_1$ является диагональю грани $BCC_1B_1$. Эта грань — квадрат со стороной $a$. По теореме Пифагора для $\triangle BCC_1$: $ BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 $ $ BC_1 = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} $

Теперь можем вычислить тангенс: $ \tan(\alpha) = \frac{AB}{BC_1} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $ \tan(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $