Номер 8, страница 235 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

14. Задачи для подготовки к ЕГЭ - номер 8, страница 235.

Условие.

8. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 1. Найдите тангенс угла между плоскостями ABC и CA₁B₁.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

Для нахождения угла между двумя плоскостями, в данном случае между плоскостью основания $ABC$ и плоскостью $CA_1B_1$, воспользуемся геометрическим методом. Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен линейному углу соответствующего двугранного угла, то есть углу между двумя перпендикулярами к линии пересечения плоскостей, проведенными в этих плоскостях из одной точки на линии пересечения.

1. Нахождение линии пересечения плоскостей.
Плоскость $ABC$ и плоскость $CA_1B_1$ имеют общую точку $C$. Следовательно, они пересекаются по прямой, проходящей через точку $C$. Поскольку призма $ABCA_1B_1C_1$ правильная, ее основания параллельны, то есть плоскость $(A_1B_1C_1) \parallel (ABC)$. Прямая $A_1B_1$ лежит в плоскости $A_1B_1C_1$, значит $A_1B_1 \parallel (ABC)$. Плоскость $CA_1B_1$ проходит через прямую $A_1B_1$, параллельную плоскости $ABC$. По теореме о пересечении плоскости с параллельной ей плоскостью, линия их пересечения параллельна $A_1B_1$. Также, так как призма прямая, $AB \parallel A_1B_1$. Таким образом, линия пересечения плоскостей $ABC$ и $CA_1B_1$ — это прямая, проходящая через точку $C$ параллельно прямой $AB$.

2. Построение линейного угла.
Чтобы построить линейный угол, проведем плоскость, перпендикулярную линии пересечения (а значит, и прямой $AB$). Пусть $M$ — середина ребра $AB$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний (основание правильной призмы), его медиана $CM$ является и высотой. Следовательно, $CM \perp AB$. Пусть $M_1$ — середина ребра $A_1B_1$. Аналогично, $C_1M_1 \perp A_1B_1$. Рассмотрим плоскость, проходящую через точки $C$, $M$ и $M_1$. Эта плоскость $CMM_1$ перпендикулярна прямой $AB$, так как $CM \perp AB$ и $MM_1 \perp AB$ (поскольку $MM_1$ как отрезок, соединяющий середины параллельных сторон в прямоугольнике $ABB_1A_1$, параллелен и равен боковому ребру $AA_1$, которое перпендикулярно основанию). Линией пересечения плоскости $CMM_1$ с плоскостью $ABC$ является прямая $CM$. Линией пересечения плоскости $CMM_1$ с плоскостью $CA_1B_1$ является прямая $CM_1$ (так как обе точки $C$ и $M_1$ лежат в обеих плоскостях). Следовательно, угол $\angle MCM_1$ является искомым линейным углом между плоскостями $ABC$ и $CA_1B_1$.

3. Вычисление тангенса угла.
Рассмотрим треугольник $CMM_1$. Как было показано, $MM_1 \perp AB$, и так как $CM$ лежит в плоскости основания, то $MM_1 \perp CM$. Это означает, что треугольник $CMM_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$. По условию, все ребра призмы равны 1. Найдем длины катетов треугольника $CMM_1$:

• $CM$ — высота равностороннего треугольника $ABC$ со стороной $a=1$. Ее длина вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $CM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• $MM_1$ — длина этого отрезка равна высоте призмы, то есть $MM_1 = AA_1 = 1$.

Тангенс угла $\angle MCM_1$ (обозначим его $\alpha$) в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $$ \tan \alpha = \frac{MM_1}{CM} $$ Подставляем найденные значения: $$ \tan \alpha = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} $$ Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем: $$ \tan \alpha = \frac{2\sqrt{3}}{3} $$

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$