Номер 11, страница 235 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

11. Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = 33. Найдите тангенс угла между плоскостью AA₁D₁ и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно 3.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ вдоль ребра $DC$, и ось $Oz$ вдоль ребра $DD_1$.

Пусть высота призмы $h$, то есть $DD_1 = h$. В данной системе координат вершины призмы будут иметь следующие координаты:

• $D(0, 0, 0)$
• $A(\sqrt{33}, 0, 0)$
• $C(0, 5, 0)$
• $B(\sqrt{33}, 5, 0)$
• $D_1(0, 0, h)$
• $A_1(\sqrt{33}, 0, h)$
• $C_1(0, 5, h)$
• $B_1(\sqrt{33}, 5, h)$

1. Нахождение высоты призмы

Высоту $h$ найдем, используя условие о расстоянии между скрещивающимися прямыми $A_1C_1$ и $BD$. Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти по формуле:

$d = \frac{|\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2})|}{|\vec{s_1} \times \vec{s_2}|}$

где $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$ — направляющие векторы прямых, а $\vec{M_1M_2}$ — вектор, соединяющий точки на этих прямых.

Найдем направляющие векторы прямых $BD$ и $A_1C_1$:

$\vec{s_{BD}} = \vec{DB} = ( \sqrt{33}-0, 5-0, 0-0 ) = (\sqrt{33}, 5, 0)$

$\vec{s_{A_1C_1}} = \vec{A_1C_1} = ( 0-\sqrt{33}, 5-0, h-h ) = (-\sqrt{33}, 5, 0)$

В качестве вектора, соединяющего точки на прямых, возьмем вектор $\vec{DA_1}$ (где $D$ лежит на прямой $BD$, а $A_1$ — на прямой $A_1C_1$):

$\vec{DA_1} = (\sqrt{33}-0, 0-0, h-0) = (\sqrt{33}, 0, h)$

Найдем векторное произведение направляющих векторов:

$\vec{s_{BD}} \times \vec{s_{A_1C_1}} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \sqrt{33} & 5 & 0 \\ -\sqrt{33} & 5 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(5 \cdot 0 - 0 \cdot 5) - \vec{j}(\sqrt{33} \cdot 0 - 0 \cdot (-\sqrt{33})) + \vec{k}(\sqrt{33} \cdot 5 - 5 \cdot (-\sqrt{33})) = (0, 0, 10\sqrt{33})$

Модуль этого вектора:

$|\vec{s_{BD}} \times \vec{s_{A_1C_1}}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (10\sqrt{33})^2} = 10\sqrt{33}$

Теперь найдем смешанное произведение (числитель формулы):

$|\vec{DA_1} \cdot (\vec{s_{BD}} \times \vec{s_{A_1C_1}})| = |(\sqrt{33}, 0, h) \cdot (0, 0, 10\sqrt{33})| = |\sqrt{33} \cdot 0 + 0 \cdot 0 + h \cdot 10\sqrt{33}| = 10\sqrt{33}h$

Подставим найденные значения в формулу расстояния:

$d = \frac{10\sqrt{33}h}{10\sqrt{33}} = h$

По условию задачи, расстояние между прямыми $A_1C_1$ и $BD$ равно $\sqrt{3}$. Следовательно, высота призмы $h = \sqrt{3}$.

2. Нахождение тангенса угла между плоскостями

Требуется найти тангенс угла между плоскостью $AA_1D_1$ и плоскостью $\alpha$, проходящей через середину ребра $CD$ перпендикулярно прямой $B_1D$.

Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами.

Плоскость $AA_1D_1$ совпадает с координатной плоскостью $y=0$. Её нормальный вектор $\vec{n_1}$ коллинеарен оси $Oy$. Возьмем $\vec{n_1} = (0, 1, 0)$.

Плоскость $\alpha$ по условию перпендикулярна прямой $B_1D$. Следовательно, направляющий вектор прямой $B_1D$ является нормальным вектором для плоскости $\alpha$. Найдем этот вектор, который обозначим $\vec{n_2}$.

$\vec{n_2} = \vec{DB_1} = (\sqrt{33}-0, 5-0, h-0) = (\sqrt{33}, 5, h)$

Так как мы нашли, что $h=\sqrt{3}$, то:

$\vec{n_2} = (\sqrt{33}, 5, \sqrt{3})$

Теперь найдем косинус угла $\phi$ между плоскостями по формуле угла между их нормальными векторами:

$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0, 1, 0) \cdot (\sqrt{33}, 5, \sqrt{3}) = 0 \cdot \sqrt{33} + 1 \cdot 5 + 0 \cdot \sqrt{3} = 5$

Вычислим модули векторов:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$

$|\vec{n_2}| = \sqrt{(\sqrt{33})^2 + 5^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{33 + 25 + 3} = \sqrt{61}$

Подставляем значения в формулу для косинуса:

$\cos \phi = \frac{|5|}{1 \cdot \sqrt{61}} = \frac{5}{\sqrt{61}}$

Нам нужно найти тангенс угла. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $1 + \tan^2\phi = \frac{1}{\cos^2\phi}$ или найдем синус, а затем тангенс. Угол между плоскостями берется в диапазоне от $0$ до $90^\circ$, поэтому синус и тангенс будут положительными.

$\sin^2\phi = 1 - \cos^2\phi = 1 - \left(\frac{5}{\sqrt{61}}\right)^2 = 1 - \frac{25}{61} = \frac{61 - 25}{61} = \frac{36}{61}$

$\sin \phi = \sqrt{\frac{36}{61}} = \frac{6}{\sqrt{61}}$

Теперь найдем тангенс:

$\tan \phi = \frac{\sin \phi}{\cos \phi} = \frac{6/\sqrt{61}}{5/\sqrt{61}} = \frac{6}{5} = 1.2$

Ответ: $1.2$