Номер 17, страница 236 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

17. Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно к плоскости ABC. Найдите расстояние от вершины A до плоскости, проходящей через середины рёбер AB, AC и AD, если AD = 25, AB = AC = 10, BC = 45.

Для решения данной задачи мы воспользуемся методом, основанным на свойствах гомотетии и вычислении объёма пирамиды.

1. Анализ геометрии задачи

Пусть M, N и P — середины рёбер AB, AC и AD соответственно. Нам необходимо найти расстояние от вершины A до плоскости, проходящей через эти три точки, то есть до плоскости (MNP).

Рассмотрим векторы, выходящие из вершины A:

• M — середина AB, следовательно $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}$.
• N — середина AC, следовательно $\vec{AN} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.
• P — середина AD, следовательно $\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{AD}$.

Эти соотношения показывают, что треугольник MNP является образом треугольника BCD при гомотетии (преобразовании подобия) с центром в точке A и коэффициентом $k = \frac{1}{2}$. Соответственно, плоскость (MNP) является образом плоскости (BCD) при этой же гомотетии.

Расстояние от центра гомотетии до плоскости-образа равно произведению коэффициента гомотетии на расстояние от центра до плоскости-прообраза. Таким образом, искомое расстояние от точки A до плоскости (MNP), обозначим его $d(A, (MNP))$, связано с расстоянием от A до плоскости (BCD), $d(A, (BCD))$, следующим образом:

$d(A, (MNP)) = k \cdot d(A, (BCD)) = \frac{1}{2} d(A, (BCD))$

Наша задача сводится к нахождению расстояния от вершины A до плоскости грани BCD.

2. Нахождение расстояния от A до плоскости (BCD) методом объёмов

Расстояние от вершины A до плоскости (BCD) — это высота $h_A$ пирамиды DABC, опущенная из вершины A на основание BCD. Объём этой пирамиды можно вычислить двумя способами:

1. Приняв за основание треугольник ABC. Так как по условию ребро $AD$ перпендикулярно плоскости $ABC$, то $AD$ является высотой пирамиды.
   $V_{DABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot AD$
2. Приняв за основание треугольник BCD. Высотой будет искомое расстояние $h_A$.
   $V_{DABC} = \frac{1}{3} S_{BCD} \cdot h_A$

Приравнивая правые части, получаем формулу для вычисления $h_A$:

$S_{ABC} \cdot AD = S_{BCD} \cdot h_A \implies h_A = \frac{S_{ABC} \cdot AD}{S_{BCD}}$

Теперь вычислим необходимые величины: $S_{ABC}$, $S_{BCD}$ и $AD$. Длина $AD = 2\sqrt{5}$ дана по условию.

3. Вычисление площадей граней

а) Вычисление площади треугольника ABC

В основании лежит равнобедренный треугольник ABC со сторонами $AB = AC = 10$ и $BC = 4\sqrt{5}$. Проведём в нём высоту AK к основанию BC. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому $BK = KC = \frac{1}{2} BC = 2\sqrt{5}$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABK:

$AK = \sqrt{AB^2 - BK^2} = \sqrt{10^2 - (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{100 - 20} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$

Площадь треугольника ABC:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AK = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5} = 2\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5} = 8 \cdot 5 = 40$

б) Вычисление площади треугольника BCD

Сначала найдём длины сторон BD и CD. Так как $AD \perp (ABC)$, то $AD \perp AB$ и $AD \perp AC$. Следовательно, треугольники ABD и ACD — прямоугольные.

Из $\triangle ABD$ по теореме Пифагора:

$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{10^2 + (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{100 + 20} = \sqrt{120} = 2\sqrt{30}$

Из $\triangle ACD$ по теореме Пифагора:

$CD = \sqrt{AC^2 + AD^2} = \sqrt{10^2 + (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{100 + 20} = \sqrt{120} = 2\sqrt{30}$

Треугольник BCD — равнобедренный со сторонами $BD = CD = 2\sqrt{30}$ и основанием $BC = 4\sqrt{5}$. Проведём в нём высоту DL к основанию BC. Так как DL — высота в равнобедренном треугольнике, она также является медианой, и $BL = LC = 2\sqrt{5}$.

Из прямоугольного треугольника DCL по теореме Пифагора:

$DL = \sqrt{CD^2 - CL^2} = \sqrt{(2\sqrt{30})^2 - (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{120 - 20} = \sqrt{100} = 10$

Площадь треугольника BCD:

$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DL = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{5} \cdot 10 = 20\sqrt{5}$

4. Определение искомого расстояния

Теперь мы можем рассчитать расстояние $h_A$ от вершины A до плоскости (BCD):

$h_A = \frac{S_{ABC} \cdot AD}{S_{BCD}} = \frac{40 \cdot 2\sqrt{5}}{20\sqrt{5}} = \frac{80\sqrt{5}}{20\sqrt{5}} = 4$

Наконец, находим искомое расстояние от вершины A до плоскости (MNP):

$d(A, (MNP)) = \frac{1}{2} h_A = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

Ответ: 2