Номер 2, страница 236 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC на стороне BC взята точка D так, что BD : DC = 1 : 4. В каком отношении прямая AD делит высоту BE треугольника ABC, считая от вершины B?

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Это означает, что $AB = BC$. Высота $BE$, проведенная к основанию, в равнобедренном треугольнике является также медианой и биссектрисой.

Поскольку $BE$ — медиана, точка $E$ является серединой основания $AC$. Следовательно, $AE = EC$.

На стороне $BC$ взята точка $D$ так, что $BD:DC = 1:4$. Прямая $AD$ пересекает высоту $BE$ в некоторой точке $O$. Нам необходимо найти отношение $BO:OE$.

Для решения этой задачи удобно применить теорему Менелая для треугольника $BEC$ и секущей $AOD$. Секущая $AOD$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$, сторону $BE$ в точке $O$ и продолжение стороны $CE$ (прямую $AC$) в точке $A$.

Согласно теореме Менелая, произведение отношений, в которых секущая делит стороны треугольника (или их продолжения), равно единице:

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CA}{AE} \cdot \frac{EO}{OB} = 1$

Теперь найдем значения для каждого из отношений в формуле:

1. Из условия задачи известно, что $\frac{BD}{DC} = \frac{1}{4}$.

2. Так как $E$ — середина $AC$, то $AC = AE + EC = AE + AE = 2AE$. Следовательно, отношение $\frac{CA}{AE} = \frac{2AE}{AE} = 2$.

3. Отношение $\frac{EO}{OB}$ (или обратное ему) — искомое.

Подставим известные значения в формулу теоремы Менелая:

$\frac{1}{4} \cdot 2 \cdot \frac{EO}{BO} = 1$

$\frac{2}{4} \cdot \frac{EO}{BO} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{EO}{BO} = 1$

Из этого уравнения находим отношение $\frac{EO}{BO}$:

$\frac{EO}{BO} = 2$

Нас просят найти отношение, считая от вершины $B$, то есть $BO:OE$. Для этого найдем обратное отношение:

$\frac{BO}{EO} = \frac{1}{2}$

Таким образом, прямая $AD$ делит высоту $BE$ в отношении $1:2$, считая от вершины $B$.

Ответ: 1:2.