Номер 18, страница 236 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

18. В пирамиде DABC известны длины рёбер: AB = AC = DB = DC = 10, BC = DA = 12. Найдите расстояние между прямыми DA и BC.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Построим и найдем длину этого отрезка для прямых $DA$ и $BC$.

Пусть K — середина ребра BC. Так как $BC = 12$, то $BK = KC = 6$.

Рассмотрим треугольник ABC. По условию $AB = AC = 10$, следовательно, он является равнобедренным с основанием BC. Отрезок AK в нем — медиана, а значит, и высота. Таким образом, $AK \perp BC$.

Аналогично, в треугольнике DBC стороны $DB = DC = 10$, значит, он также равнобедренный с основанием BC. Отрезок DK — его медиана и высота, следовательно, $DK \perp BC$.

Поскольку прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым AK и DK, лежащим в плоскости ADK, то прямая BC перпендикулярна всей плоскости ADK.

Прямая DA лежит в плоскости ADK. Расстояние между скрещивающимися прямыми DA и BC будет равно длине перпендикуляра, проведенного из точки K (точки пересечения прямой BC с плоскостью ADK) к прямой DA.

Найдем стороны треугольника ADK, чтобы вычислить длину этого перпендикуляра.

• $DA = 12$ (по условию).
• В прямоугольном треугольнике AKC (с прямым углом при K) по теореме Пифагора находим катет AK:
  $AK = \sqrt{AC^2 - KC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$.
• Аналогично в прямоугольном треугольнике DKC находим катет DK:
  $DK = \sqrt{DC^2 - KC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$.

Таким образом, треугольник ADK — равнобедренный со сторонами $AK = DK = 8$ и основанием $AD = 12$.

Искомое расстояние — это высота KH, проведенная из вершины K к основанию AD. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также и медианой. Следовательно, точка H — середина отрезка AD, и $AH = \frac{AD}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AKH (с прямым углом при H). По теореме Пифагора: $KH^2 = AK^2 - AH^2$ $KH^2 = 8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28$ $KH = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.

Ответ: $2\sqrt{7}$.