Номер 14, страница 235 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

14. В правильном тетраэдре ABCD точка E — середина ребра BD. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью ABC.

Пусть $a$ — длина ребра правильного тетраэдра $ABCD$. Все грани тетраэдра являются равносторонними треугольниками со стороной $a$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Нам нужно найти синус угла $\alpha$ между прямой $AE$ и плоскостью $ABC$.

Для нахождения этого угла выполним следующие построения:

1. Опустим из точки $E$ перпендикуляр $EH$ на плоскость $ABC$.
2. Точка $A$ лежит в плоскости $ABC$, поэтому проекцией точки $A$ на плоскость является сама точка $A$.
3. Прямая $AH$ является проекцией прямой $AE$ на плоскость $ABC$.
4. Искомый угол $\alpha$ — это угол $\angle EAH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AEH$ (прямой угол $\angle AHE$). Синус искомого угла определяется отношением противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin \alpha = \sin(\angle EAH) = \frac{EH}{AE}$

Теперь найдем длины отрезков $AE$ и $EH$.

1. Нахождение длины отрезка AE

Рассмотрим грань $ABD$. Это равносторонний треугольник со стороной $a$. Точка $E$ — середина ребра $BD$. Следовательно, отрезок $AE$ является медианой этого треугольника. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой. Длину высоты (и медианы) равностороннего треугольника со стороной $a$ можно найти по формуле:

$AE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

2. Нахождение длины отрезка EH

Отрезок $EH$ — это расстояние от точки $E$ до плоскости $ABC$. Найдем его, используя свойства проекций.

Пусть $O$ — центр треугольника $ABC$, который является основанием тетраэдра. В правильном тетраэдре вершина $D$ проецируется в центр основания $O$. Таким образом, $DO$ — высота тетраэдра, и $DO \perp (ABC)$.

Рассмотрим треугольник $BDK$, где $BK$ — медиана (и высота, и биссектриса) треугольника $ABC$. Точка $O$ лежит на $BK$.

Прямая $DO$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Прямая $EH$ также перпендикулярна плоскости $ABC$. Следовательно, $EH \parallel DO$.

Рассмотрим плоскость, проходящую через точки $B$, $D$ и $O$. Точка $E$, как середина $BD$, лежит в этой плоскости. Так как $EH \parallel DO$, то по теореме Фалеса (или из подобия треугольников $\triangle BEH$ и $\triangle BDO$), отрезок $EH$ является средней линией треугольника $BDO$ (если рассматривать проекцию на линию $BO$). Точнее, так как $E$ — середина $BD$ и $EH \parallel DO$, то $H$ — середина $BO$, и длина $EH$ равна половине длины $DO$.

$EH = \frac{1}{2} DO$

Теперь найдем высоту тетраэдра $DO$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOD$. $AD=a$ (ребро тетраэдра). $AO$ — это радиус описанной окружности около равностороннего треугольника $ABC$. Длина медианы $AK$ треугольника $ABC$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Центр $O$ делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Значит:

$AO = \frac{2}{3} AK = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

По теореме Пифагора в треугольнике $AOD$:

$DO^2 = AD^2 - AO^2 = a^2 - \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$

$DO = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Теперь находим длину $EH$:

$EH = \frac{1}{2} DO = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a\sqrt{6}}{6}$

3. Вычисление синуса угла

Мы нашли все необходимые величины для вычисления синуса искомого угла:

$AE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$EH = \frac{a\sqrt{6}}{6}$

Подставляем их в формулу для синуса:

$\sin \alpha = \frac{EH}{AE} = \frac{\frac{a\sqrt{6}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{6} \cdot \frac{2}{a\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{6\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{3}}$

Упростим выражение:

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{3}$