Номер 13, страница 235 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

13. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки A до плоскости DEA₁.

Для нахождения искомого расстояния от точки $A$ до плоскости $DEA_1$ воспользуемся методом объёмов. Рассмотрим тетраэдр $ADEA_1$. Объём этого тетраэдра $V$ можно вычислить двумя способами.

С одной стороны, объём тетраэдра можно найти по формуле $V = \frac{1}{3} S_{ADE} \cdot h$, где $S_{ADE}$ — площадь основания $ADE$, а $h$ — высота, опущенная из вершины $A_1$ на плоскость этого основания. Плоскость $ADE$ совпадает с плоскостью нижнего основания призмы $ABCDEF$. Следовательно, высота $h$ из точки $A_1$ на эту плоскость равна высоте призмы, то есть $h = AA_1 = 1$, так как по условию все рёбра призмы равны 1.

Найдём площадь треугольника $ADE$. В основании призмы лежит правильный шестиугольник со стороной $a=1$. В таком шестиугольнике сторона $DE=a=1$, малая диагональ $AE=a\sqrt{3}=\sqrt{3}$, а большая диагональ $AD=2a=2$. Проверим, является ли треугольник $ADE$ прямоугольным, используя теорему Пифагора:$DE^2 + AE^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.$AD^2 = 2^2 = 4$.Так как $DE^2 + AE^2 = AD^2$, треугольник $ADE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $E$. Его площадь равна:$S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot AE = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.Тогда объём тетраэдра $ADEA_1$ равен:$V = \frac{1}{3} S_{ADE} \cdot AA_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

С другой стороны, объём того же тетраэдра можно выразить через площадь грани $DEA_1$ и высоту, опущенную на неё из вершины $A$. Эта высота и есть искомое расстояние, обозначим его $d$. Формула для объёма: $V = \frac{1}{3} S_{DEA_1} \cdot d$.Найдём площадь треугольника $DEA_1$. Для этого вычислим длины его сторон. Сторона $DE = 1$. Длины сторон $A_1E$ и $A_1D$ найдём из прямоугольных треугольников $A_1AE$ и $A_1AD$ соответственно (треугольники прямоугольные, так как ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания).$A_1E^2 = AA_1^2 + AE^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$, следовательно, $A_1E = 2$.$A_1D^2 = AA_1^2 + AD^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$, следовательно, $A_1D = \sqrt{5}$.Проверим, является ли треугольник $DEA_1$ прямоугольным:$DE^2 + A_1E^2 = 1^2 + 2^2 = 1+4=5$.$A_1D^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.Так как $DE^2 + A_1E^2 = A_1D^2$, треугольник $DEA_1$ также является прямоугольным с прямым углом при вершине $E$. Его площадь:$S_{DEA_1} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot A_1E = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$.

Теперь выразим объём через эту площадь и искомое расстояние $d$:$V = \frac{1}{3} S_{DEA_1} \cdot d = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot d = \frac{d}{3}$.

Приравнивая два полученных выражения для объёма тетраэдра, имеем:$\frac{d}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.Отсюда находим искомое расстояние:$d = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.