Номер 6, страница 235 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

14. Задачи для подготовки к ЕГЭ - номер 6, страница 235.

Условие.

6. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 1. Найдите косинус угла между прямыми AB₁ и BC₁.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

Для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми $AB_1$ и $BC_1$ воспользуемся методом координат.

Введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат находится в точке $A$. Ось $Ox$ направим вдоль ребра $AC$, ось $Oz$ — вдоль ребра $AA_1$. Ось $Oy$ направим перпендикулярно плоскости $ACC_1A_1$ так, чтобы координата $y$ точки $B$ была положительной.

Так как призма правильная треугольная, в ее основании лежит равносторонний треугольник $ABC$. По условию, все ребра призмы равны 1. Найдем координаты вершин, необходимых для решения задачи.

• $A$ — начало координат, поэтому ее координаты $A(0, 0, 0)$.
• $C$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии 1 от начала координат, поэтому $C(1, 0, 0)$.
• $B$: В равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной 1 высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $AC$, равна $h = \sqrt{1^2 - (1/2)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Проекция точки $B$ на ось $Ox$ — это середина отрезка $AC$, то есть точка с координатой $x = 1/2$. Таким образом, координаты точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• $B_1$ получается смещением точки $B$ вдоль оси $Oz$ на 1, так как $BB_1 = 1$ и $BB_1$ параллельно $Oz$. Координаты точки $B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.
• $C_1$ получается смещением точки $C$ вдоль оси $Oz$ на 1, так как $CC_1 = 1$ и $CC_1$ параллельно $Oz$. Координаты точки $C_1(1, 0, 1)$.

Теперь найдем координаты векторов, соответствующих прямым $AB_1$ и $BC_1$. Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между их направляющими векторами.

Координаты вектора $\vec{AB_1}$ равны разности координат его конца и начала:

$\vec{AB_1} = \{ \frac{1}{2}-0; \frac{\sqrt{3}}{2}-0; 1-0 \} = \{ \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 1 \}$

Координаты вектора $\vec{BC_1}$:

$\vec{BC_1} = \{ 1-\frac{1}{2}; 0-\frac{\sqrt{3}}{2}; 1-0 \} = \{ \frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}; 1 \}$

Косинус угла $\alpha$ между прямыми $AB_1$ и $BC_1$ равен модулю косинуса угла между векторами $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$. Косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1} = (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1 \cdot 1 = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} + 1 = -\frac{2}{4} + 1 = \frac{1}{2}$

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{AB_1}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$

$|\vec{BC_1}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$

Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла. Так как скалярное произведение положительно, угол между векторами острый, и его косинус совпадает с косинусом угла между прямыми.

$\cos \alpha = \frac{\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1}}{|\vec{AB_1}| \cdot |\vec{BC_1}|} = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$