Номер 5, страница 235 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

5. Основанием прямой призмы ABCA₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AC. Найдите тангенс угла между плоскостью A₁B₁C₁ и плоскостью, проходящей через середину ребра AA₁ и прямую BC, если AB = 4, BB₁ = 12.

Пусть дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$. Основанием призмы является прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AC$, следовательно, угол $\angle ABC = 90^\circ$. Известны длины катета $AB=4$ и бокового ребра $BB_1=12$.

Необходимо найти тангенс угла между плоскостью верхнего основания $(A_1B_1C_1)$ и плоскостью, проходящей через середину ребра $AA_1$ и прямую $BC$.

1. Обозначим искомую секущую плоскость как $\alpha$. Пусть точка $M$ является серединой ребра $AA_1$. Так как плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ и прямую $BC$, то эта плоскость определяется точками $M, B, C$ и является плоскостью $(MBC)$.

2. Угол между плоскостями – это двугранный угол. Нам нужно найти угол между плоскостью $(A_1B_1C_1)$ и плоскостью $(MBC)$.

3. Поскольку призма является прямой, ее основания параллельны друг другу, то есть плоскость $(A_1B_1C_1)$ параллельна плоскости $(ABC)$. Следовательно, угол между плоскостью $(MBC)$ и плоскостью $(A_1B_1C_1)$ равен углу между плоскостью $(MBC)$ и плоскостью $(ABC)$.

4. Найдем угол между плоскостями $(MBC)$ и $(ABC)$. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $BC$. Для нахождения двугранного угла построим его линейный угол. Для этого нужно в каждой из плоскостей провести перпендикуляр к линии их пересечения $BC$ из одной и той же точки.

5. В плоскости основания $(ABC)$, согласно условию, треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом $B$. Это означает, что катет $AB$ перпендикулярен катету $BC$. Таким образом, у нас есть первый перпендикуляр к линии пересечения: $AB \perp BC$.

6. В секущей плоскости $(MBC)$ нам нужно найти перпендикуляр к прямой $BC$, выходящий из точки $B$. Рассмотрим наклонную $MB$ к плоскости основания $(ABC)$. Поскольку призма прямая, ее боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$. Точка $M$ лежит на $AA_1$, значит, проекцией точки $M$ на плоскость $(ABC)$ является точка $A$. Следовательно, проекцией наклонной $MB$ на плоскость $(ABC)$ является отрезок $AB$.

7. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($AB$) на плоскость перпендикулярна некоторой прямой ($BC$) в этой плоскости, то и сама наклонная ($MB$) перпендикулярна этой прямой. Так как $AB \perp BC$, то и $MB \perp BC$.

8. Таким образом, мы имеем два перпендикуляра к прямой $BC$, проведенные в точке $B$: $AB$ в плоскости $(ABC)$ и $MB$ в плоскости $(MBC)$. Угол между этими перпендикулярами, $\angle MBA$, и является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(MBC)$, а значит и искомым углом.

9. Рассмотрим треугольник $MAB$. Так как ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, оно перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая $AB$. Следовательно, $\angle MAB = 90^\circ$, и треугольник $MAB$ — прямоугольный.

10. Найдем длины катетов этого треугольника.

• Длина катета $AB$ дана по условию: $AB = 4$.
• Призма прямая, поэтому все ее боковые ребра равны: $AA_1 = BB_1 = 12$. Точка $M$ — середина ребра $AA_1$, значит, длина катета $MA$ равна: $MA = \frac{1}{2} AA_1 = \frac{12}{2} = 6$.

11. В прямоугольном треугольнике $MAB$ тангенс угла $\angle MBA$ равен отношению противолежащего катета $MA$ к прилежащему катету $AB$:$$ \tan(\angle MBA) = \frac{MA}{AB} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5 $$

Ответ: $1.5$