Номер 3, страница 235 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

3. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между плоскостями AB₁C₁ и A₁B₁C.

Для решения задачи найдем угол между двумя плоскостями через угол между их нормалями (перпендикулярами).

1. Нахождение нормали к плоскости $(AB_1C_1)$

Рассмотрим прямую $A_1B$. Докажем, что она перпендикулярна плоскости $(AB_1C_1)$. Для этого достаточно доказать ее перпендикулярность двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости, например, прямым $AB_1$ и $B_1C_1$.

• Грань $ABB_1A_1$ является квадратом. Прямые $A_1B$ и $AB_1$ — ее диагонали. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, следовательно, $A_1B \perp AB_1$.
• Ребро $B_1C_1$ перпендикулярно грани $ABB_1A_1$, так как куб является прямоугольным параллелепипедом. Прямая $A_1B$ лежит в плоскости грани $ABB_1A_1$, поэтому $B_1C_1 \perp A_1B$.

Поскольку прямая $A_1B$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB_1$ и $B_1C_1$ из плоскости $(AB_1C_1)$, она перпендикулярна и самой плоскости. Таким образом, прямая $A_1B$ является нормалью к плоскости $(AB_1C_1)$.

2. Нахождение нормали к плоскости $(A_1BC_1)$

Можно показать, что нормалью к плоскости $(A_1BC_1)$ является прямая $B_1D$. Доказательство этого факта чисто геометрическими методами достаточно громоздко. Удобнее найти угол между плоскостями, вычислив угол между их нормалями с помощью координатного метода. Мы уже установили, что одной из нормалей является прямая $A_1B$. В качестве второй нормали можно взять прямую $B_1D$ (это можно доказать отдельно или проверить в ходе вычислений).

3. Вычисление угла между нормалями

Введем прямоугольную систему координат. Пусть ребро куба равно $a$. Поместим начало координат в вершину $A$, а оси координат направим вдоль ребер: ось $Ox$ вдоль $AB$, ось $Oy$ вдоль $AD$ и ось $Oz$ вдоль $AA_1$.

В этой системе координат вершины будут иметь следующие координаты:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(a, 0, 0)$
• $D(0, a, 0)$
• $A_1(0, 0, a)$
• $B_1(a, 0, a)$

Теперь найдем координаты векторов, соответствующих нормальным прямым $A_1B$ и $B_1D$.

Вектор $\vec{A_1B}$ имеет координаты:

$\vec{A_1B} = \{B_x - A_{1x}; B_y - A_{1y}; B_z - A_{1z}\} = \{a-0; 0-0; 0-a\} = (a, 0, -a)$.

Вектор $\vec{B_1D}$ имеет координаты:

$\vec{B_1D} = \{D_x - B_{1x}; D_y - B_{1y}; D_z - B_{1z}\} = \{0-a; a-0; 0-a\} = (-a, a, -a)$.

Угол $\phi$ между векторами (и, следовательно, между прямыми) можно найти через их скалярное произведение:

$\cos\phi = \frac{\vec{A_1B} \cdot \vec{B_1D}}{|\vec{A_1B}| \cdot |\vec{B_1D}|}$

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{A_1B} \cdot \vec{B_1D} = (a)(-a) + (0)(a) + (-a)(-a) = -a^2 + 0 + a^2 = 0$.

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы ортогональны, то есть угол между ними составляет $90^\circ$.

Угол между плоскостями равен углу между их нормалями. Следовательно, искомый угол между плоскостями $(AB_1C_1)$ и $(A_1BC_1)$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.