Номер 7, страница 235 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи для подготовки к ЕГЭ. 14 - номер 7, страница 235.

Условие.

7. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 1. Найдите косинус угла между прямыми AB и A₁C.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

Для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми $AB$ и $A_1C$ воспользуемся координатно-векторным методом. Для этого введем прямоугольную систему координат.

По условию, призма $ABCA_1B_1C_1$ — правильная, это означает, что ее основаниями ($ABC$ и $A_1B_1C_1$) являются равносторонние треугольники, а боковые ребра ($AA_1$, $BB_1$, $CC_1$) перпендикулярны плоскостям оснований. Все ребра призмы равны 1.

Введем систему координат с началом в точке $A$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, а ось $Oz$ — вдоль бокового ребра $AA_1$. Ось $Oy$ расположим в плоскости основания $ABC$ перпендикулярно оси $Ox$.

Определим координаты вершин, необходимых для решения задачи:

• Точка $A$ совпадает с началом координат, следовательно, ее координаты $A(0, 0, 0)$.
• Точка $B$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии 1 от начала координат, поэтому $B(1, 0, 0)$.
• Точка $A_1$ лежит на оси $Oz$ на расстоянии 1 от начала координат, поэтому $A_1(0, 0, 1)$.
• Для нахождения координат точки $C$ рассмотрим основание $ABC$. Это равносторонний треугольник со стороной 1. Проведем в нем высоту из вершины $C$ к стороне $AB$. В равностороннем треугольнике высота является также и медианой. Проекция точки $C$ на ось $Ox$ будет в середине отрезка $AB$, то есть $x_C = \frac{1}{2}$. Проекция точки $C$ на ось $Oy$ равна длине высоты треугольника: $y_C = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\text{сторона}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как точка $C$ лежит в плоскости $z=0$, ее координаты $C(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Теперь найдем векторы, соответствующие заданным прямым. Направление прямой $AB$ задается вектором $\vec{AB}$, а направление прямой $A_1C$ — вектором $\vec{A_1C}$.

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (1-0; 0-0; 0-0) = (1, 0, 0)$.

$\vec{A_1C} = (x_C - x_{A_1}; y_C - y_{A_1}; z_C - z_{A_1}) = (\frac{1}{2}-0; \frac{\sqrt{3}}{2}-0; 0-1) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -1)$.

Косинус угла $\alpha$ между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле:$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$Угол между скрещивающимися прямыми — это острый угол, поэтому мы возьмем модуль скалярного произведения:$\cos \alpha = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{A_1C}|}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{A_1C}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов:$\vec{AB} \cdot \vec{A_1C} = 1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 \cdot (-1) = \frac{1}{2}$.

Вычислим длины (модули) векторов:$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.$|\vec{A_1C}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:$\cos \alpha = \frac{|\frac{1}{2}|}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$