Номер 7, страница 236 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

16. Задачи для подготовки к ЕГЭ - номер 7, страница 236.

Условие.

7. Точки A₁, B₁ и C₁ — основания высот треугольника ABC. Углы треугольника A₁B₁C₁ равны 90°, 60° и 30°. Найдите углы треугольника ABC.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

Пусть углы треугольника $ABC$ в вершинах $A$, $B$, $C$ равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ соответственно. Треугольник $A_1B_1C_1$, образованный основаниями высот, называется ортотреугольником. Углы ортотреугольника связаны с углами исходного треугольника, и эта связь зависит от того, является ли исходный треугольник остроугольным или тупоугольным (в прямоугольном треугольнике ортотреугольник вырождается в точку, поэтому этот случай не рассматриваем).

Случай 1: Треугольник $ABC$ — остроугольный.

Если треугольник $ABC$ остроугольный, то все его углы $\alpha, \beta, \gamma$ меньше $90^\circ$. Углы его ортотреугольника $A_1B_1C_1$ (обозначим их $\alpha', \beta', \gamma'$) вычисляются по формулам:

$\alpha' = 180^\circ - 2\alpha$

$\beta' = 180^\circ - 2\beta$

$\gamma' = 180^\circ - 2\gamma$

По условию задачи, углы ортотреугольника равны $90^\circ, 60^\circ, 30^\circ$. Сопоставим эти значения с формулами для нахождения углов исходного треугольника. Порядок сопоставления не имеет значения для итогового набора углов.

$180^\circ - 2\alpha = 90^\circ \implies 2\alpha = 90^\circ \implies \alpha = 45^\circ$

$180^\circ - 2\beta = 60^\circ \implies 2\beta = 120^\circ \implies \beta = 60^\circ$

$180^\circ - 2\gamma = 30^\circ \implies 2\gamma = 150^\circ \implies \gamma = 75^\circ$

Проверим полученные углы: $45^\circ + 60^\circ + 75^\circ = 180^\circ$. Все углы ($45^\circ, 60^\circ, 75^\circ$) меньше $90^\circ$, следовательно, предположение об остроугольном треугольнике было верным. Таким образом, мы нашли один из возможных наборов углов.

Ответ: Углы треугольника $ABC$ могут быть равны $45^\circ, 60^\circ, 75^\circ$.

Случай 2: Треугольник $ABC$ — тупоугольный.

Пусть один из углов треугольника $ABC$, например $\alpha$, является тупым ($\alpha > 90^\circ$). Тогда два других угла, $\beta$ и $\gamma$, должны быть острыми. В этом случае формулы для углов ортотреугольника $A_1B_1C_1$ выглядят иначе:

$\alpha' = 2\alpha - 180^\circ$

$\beta' = 2\beta$

$\gamma' = 2\gamma$

Нам нужно сопоставить этим формулам набор углов $\{90^\circ, 60^\circ, 30^\circ\}$. Угол $\alpha'$, соответствующий тупому углу $\alpha$, может быть любым из трех заданных. Рассмотрим все возможные варианты.

Подпункт а)

Предположим, что угол ортотреугольника, связанный с тупым углом $\alpha$, равен $90^\circ$.

$2\alpha - 180^\circ = 90^\circ \implies 2\alpha = 270^\circ \implies \alpha = 135^\circ$.

Остальные два угла ортотреугольника, $60^\circ$ и $30^\circ$, соответствуют удвоенным острым углам $\beta$ и $\gamma$.

$2\beta = 60^\circ \implies \beta = 30^\circ$

$2\gamma = 30^\circ \implies \gamma = 15^\circ$

Проверка: угол $\alpha = 135^\circ$ — тупой, углы $\beta=30^\circ$ и $\gamma=15^\circ$ — острые. Сумма углов: $135^\circ + 30^\circ + 15^\circ = 180^\circ$. Это второй возможный набор углов.

Ответ: Углы треугольника $ABC$ могут быть равны $135^\circ, 30^\circ, 15^\circ$.

Подпункт б)

Предположим, что угол ортотреугольника, связанный с тупым углом $\alpha$, равен $60^\circ$.

$2\alpha - 180^\circ = 60^\circ \implies 2\alpha = 240^\circ \implies \alpha = 120^\circ$.

Остальные углы, $90^\circ$ и $30^\circ$, соответствуют $2\beta$ и $2\gamma$.

$2\beta = 90^\circ \implies \beta = 45^\circ$

$2\gamma = 30^\circ \implies \gamma = 15^\circ$

Проверка: угол $\alpha = 120^\circ$ — тупой, углы $\beta=45^\circ$ и $\gamma=15^\circ$ — острые. Сумма: $120^\circ + 45^\circ + 15^\circ = 180^\circ$. Это третий возможный набор углов.

Ответ: Углы треугольника $ABC$ могут быть равны $120^\circ, 45^\circ, 15^\circ$.

Подпункт в)

Предположим, что угол ортотреугольника, связанный с тупым углом $\alpha$, равен $30^\circ$.

$2\alpha - 180^\circ = 30^\circ \implies 2\alpha = 210^\circ \implies \alpha = 105^\circ$.

Остальные углы, $90^\circ$ и $60^\circ$, соответствуют $2\beta$ и $2\gamma$.

$2\beta = 90^\circ \implies \beta = 45^\circ$

$2\gamma = 60^\circ \implies \gamma = 30^\circ$

Проверка: угол $\alpha = 105^\circ$ — тупой, углы $\beta=45^\circ$ и $\gamma=30^\circ$ — острые. Сумма: $105^\circ + 45^\circ + 30^\circ = 180^\circ$. Это четвертый возможный набор углов.

Ответ: Углы треугольника $ABC$ могут быть равны $105^\circ, 45^\circ, 30^\circ$.