Номер 10, страница 237 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

10. Точки M и N — середины сторон BC и CD параллелограмма ABCD. Отрезки AM и BN пересекаются в точке O. Найдите отношение $\frac{MO}{OA}$.

Для решения данной задачи воспользуемся методом подобных треугольников, применив дополнительное построение.

1. Дополнительное построение и анализ.

Продлим отрезок $BN$ за точку $N$ до пересечения с прямой, содержащей сторону $AD$ параллелограмма. Обозначим точку их пересечения как $K$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BCN$ и $\triangle KDN$.

• $CN = DN$, так как по условию задачи точка $N$ является серединой стороны $CD$.

• $\angle BNC = \angle KND$, так как эти углы являются вертикальными.

• В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Так как точка $K$ лежит на продолжении прямой $AD$, то $BC \parallel AK$. При пересечении этих параллельных прямых $BC$ и $AK$ секущей $BK$ образуются равные накрест лежащие углы: $\angle NBC = \angle NKD$ (или $\angle CBN = \angle DKN$).

Таким образом, треугольники $\triangle BCN$ и $\triangle KDN$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $KD = BC$.

2. Нахождение длины отрезка $AK$.

По свойству параллелограмма, длина стороны $AD$ равна длине стороны $BC$, то есть $AD = BC$. Длина отрезка $AK$ складывается из длин отрезков $AD$ и $DK$:

$AK = AD + KD = BC + BC = 2BC$

3. Подобие треугольников и нахождение отношения.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle MOB$ и $\triangle AOK$. Точка $O$ является точкой пересечения отрезков $AM$ и $BN$ (а следовательно, и отрезков $AM$ и $BK$).

• $\angle MOB = \angle AOK$, так как эти углы являются вертикальными.

• Как мы установили ранее, $BC \parallel AK$. Поскольку точка $M$ лежит на стороне $BC$, то $BM \parallel AK$. При пересечении этих параллельных прямых секущей $AM$ образуются равные накрест лежащие углы: $\angle OMB = \angle OAK$.

Следовательно, треугольники $\triangle MOB$ и $\triangle AOK$ подобны по двум углам ($\triangle MOB \sim \triangle AOK$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{MO}{OA} = \frac{MB}{AK} = \frac{OB}{OK}$

Для нахождения искомого отношения $\frac{MO}{OA}$ воспользуемся отношением $\frac{MB}{AK}$.

По условию, $M$ — середина стороны $BC$, значит, $MB = \frac{1}{2}BC$.

Ранее мы нашли, что $AK = 2BC$.

Подставим эти выражения в нашу пропорцию:

$\frac{MO}{OA} = \frac{MB}{AK} = \frac{\frac{1}{2}BC}{2BC} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.