Номер 16, страница 237 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

16. Через точку M, лежащую вне окружности с центром O и радиусом R, проведены касательные MA и MB к этой окружности (A и B — точки касания). Прямые OA и MB пересекаются в точке C. Найдите OC, если известно, что отрезок OM делится окружностью пополам.

Пусть K — точка пересечения отрезка OM с окружностью. По условию, отрезок OM делится окружностью пополам, это означает, что точка K является серединой отрезка OM. Так как OK — это радиус окружности, то $OK = R$. Следовательно, $KM = OK = R$, а длина всего отрезка OM составляет $OM = OK + KM = R + R = 2R$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAM$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, $OA \perp MA$, и $\triangle OAM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине A ($\angle OAM = 90^\circ$). В этом треугольнике известны катет $OA = R$ (радиус) и гипотенуза $OM = 2R$.

Найдем углы этого треугольника. Угол $\angle AOM$ можно найти через косинус:
$\cos(\angle AOM) = \frac{OA}{OM} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$
Из этого следует, что $\angle AOM = 60^\circ$.

Аналогично рассмотрим треугольник $\triangle OBM$. Он также является прямоугольным ($\angle OBM = 90^\circ$) с катетом $OB = R$ и гипотенузой $OM = 2R$. Найдем угол $\angle OMB$:
$\sin(\angle OMB) = \frac{OB}{OM} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$
Из этого следует, что $\angle OMB = 30^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OCM$. Точка C является точкой пересечения прямых OA и MB. Это означает, что точки O, A, C лежат на одной прямой, а точки M, B, C — на другой. Таким образом, углы треугольника $\triangle OCM$ связаны с углами, которые мы уже нашли:
- Угол при вершине O, $\angle MOC$, совпадает с углом $\angle MOA$, так как C лежит на прямой OA. Следовательно, $\angle MOC = 60^\circ$.
- Угол при вершине M, $\angle OMC$, совпадает с углом $\angle OMB$, так как C лежит на прямой MB. Следовательно, $\angle OMC = 30^\circ$.

Зная два угла треугольника $\triangle OCM$, найдем третий угол при вершине C:
$\angle OCM = 180^\circ - (\angle MOC + \angle OMC) = 180^\circ - (60^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $\triangle OCM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине C. В этом прямоугольном треугольнике нам известна гипотенуза $OM = 2R$ и углы. Мы можем найти длину катета OC, используя тригонометрические соотношения:
$OC = OM \cdot \cos(\angle MOC) = 2R \cdot \cos(60^\circ) = 2R \cdot \frac{1}{2} = R$.
Или, используя другой угол:
$OC = OM \cdot \sin(\angle OMC) = 2R \cdot \sin(30^\circ) = 2R \cdot \frac{1}{2} = R$.
Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $R$.