Номер 20, страница 237 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

20. Окружности с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B. Известно, что ∠AO₁B = 90°, ∠AO₂B = 60° и O₁O₂ = a. Найдите радиусы окружностей.

Пусть $R_1$ и $R_2$ — радиусы окружностей с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ соответственно. Точки A и B — точки пересечения окружностей, следовательно, AB — их общая хорда.

Рассмотрим треугольник $\triangle AO_1B$. По условию, стороны $O_1A$ и $O_1B$ являются радиусами первой окружности, поэтому $O_1A = O_1B = R_1$. Угол при вершине $\angle AO_1B = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle AO_1B$ — это равнобедренный прямоугольный треугольник. Длину общей хорды AB можно найти по теореме Пифагора:$AB^2 = O_1A^2 + O_1B^2 = R_1^2 + R_1^2 = 2R_1^2$.Отсюда, $AB = \sqrt{2R_1^2} = R_1\sqrt{2}$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AO_2B$. По условию, стороны $O_2A$ и $O_2B$ являются радиусами второй окружности, поэтому $O_2A = O_2B = R_2$. Угол при вершине $\angle AO_2B = 60^\circ$. Поскольку $\triangle AO_2B$ является равнобедренным с углом при вершине $60^\circ$, то он равносторонний. Следовательно, все его стороны равны:$AB = O_2A = O_2B = R_2$.

Теперь у нас есть два выражения для длины хорды AB. Приравняв их, мы получаем соотношение между радиусами:$R_1\sqrt{2} = R_2$.

Линия, соединяющая центры окружностей, $O_1O_2$, перпендикулярна общей хорде AB и делит ее пополам. Обозначим точку их пересечения как M. Поскольку центральные углы $\angle AO_1B = 90^\circ$ и $\angle AO_2B = 60^\circ$, центры $O_1$ и $O_2$ находятся по разные стороны от хорды AB. Таким образом, расстояние между центрами $O_1O_2$ равно сумме длин отрезков $O_1M$ и $O_2M$:$O_1O_2 = O_1M + O_2M = a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AO_1M$. Отрезок $O_1M$ является в нем катетом, а также высотой и биссектрисой в равнобедренном треугольнике $\triangle AO_1B$. Поэтому $\angle AO_1M = \frac{1}{2}\angle AO_1B = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$. Длину $O_1M$ можно найти из тригонометрических соотношений:$O_1M = O_1A \cdot \cos(\angle AO_1M) = R_1 \cos(45^\circ) = R_1 \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Аналогично рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AO_2M$. Отрезок $O_2M$ — это высота и биссектриса в равностороннем треугольнике $\triangle AO_2B$. Поэтому $\angle AO_2M = \frac{1}{2}\angle AO_2B = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$. Длина $O_2M$ равна:$O_2M = O_2A \cdot \cos(\angle AO_2M) = R_2 \cos(30^\circ) = R_2 \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим найденные выражения для $O_1M$ и $O_2M$ в уравнение для расстояния между центрами:$a = O_1M + O_2M = R_1 \frac{\sqrt{2}}{2} + R_2 \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Мы получили систему из двух уравнений для нахождения $R_1$ и $R_2$:$R_2 = R_1\sqrt{2}$$a = \frac{R_1\sqrt{2}}{2} + \frac{R_2\sqrt{3}}{2}$Подставим выражение для $R_2$ из первого уравнения во второе:$a = \frac{R_1\sqrt{2}}{2} + \frac{(R_1\sqrt{2})\sqrt{3}}{2} = \frac{R_1\sqrt{2}}{2} + \frac{R_1\sqrt{6}}{2} = R_1 \left( \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} \right)$.

Выразим $R_1$:$R_1 = \frac{2a}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$.Упростим это выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{6} - \sqrt{2})$:$R_1 = \frac{2a(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{2a(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{2a(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = \frac{a(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2}$.

Теперь найдем $R_2$, используя соотношение $R_2 = R_1\sqrt{2}$:$R_2 = \left( \frac{a(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} \right) \cdot \sqrt{2} = \frac{a(\sqrt{12} - 2)}{2} = \frac{a(2\sqrt{3} - 2)}{2} = a(\sqrt{3} - 1)$.

Ответ: радиусы окружностей равны $\frac{a(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2}$ и $a(\sqrt{3} - 1)$.