Номер 27, страница 238 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

16. Задачи для подготовки к ЕГЭ - номер 27, страница 238.

Условие.

27. На катетах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены окружности. Найдите их общую хорду, если катеты равны 3 и 4.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Катеты треугольника равны $AC = 3$ и $BC = 4$.

На катете $AC$ как на диаметре построена первая окружность, а на катете $BC$ как на диаметре — вторая. Окружности пересекаются в двух точках. Одной из точек пересечения является вершина $C$, так как она принадлежит обеим окружностям (лежит на концах диаметров). Обозначим вторую точку пересечения как $D$. Отрезок $CD$ является общей хордой этих двух окружностей.

Рассмотрим точку $D$. Так как точка $D$ лежит на первой окружности, построенной на диаметре $AC$, то угол $ADC$, опирающийся на диаметр, является прямым: $\angle ADC = 90^\circ$. Аналогично, так как точка $D$ лежит на второй окружности, построенной на диаметре $BC$, то угол $BDC$, опирающийся на диаметр, также является прямым: $\angle BDC = 90^\circ$.

Поскольку углы $\angle ADC$ и $\angle BDC$ — прямые, их сумма составляет $\angle ADC + \angle BDC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это означает, что угол $ADB$ является развернутым, а значит, точки $A$, $D$ и $B$ лежат на одной прямой. Эта прямая совпадает с гипотенузой $AB$ треугольника $ABC$.

Таким образом, общая хорда $CD$ является высотой, опущенной из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$.

Для нахождения длины этой высоты сначала найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$

2. Через гипотенузу и высоту, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD$

Приравнивая эти два выражения для площади, получаем:

$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD$

$AC \cdot BC = AB \cdot CD$

Отсюда можно выразить длину высоты (общей хорды) $CD$:

$CD = \frac{AC \cdot BC}{AB}$

Подставим известные значения:

$CD = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$

Ответ: $2.4$