Номер 30, страница 238 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

30. На стороне BA угла ABC, равного 30°, взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC.

Пусть дан угол $\angle ABC = 30^\circ$. На стороне BA (точнее, на луче BA) лежат точки A и D. По условию, $BD = 1$ и $AD = 2$. Точки расположены на луче в порядке B-D-A, так как D находится на стороне BA. Длина отрезка BA равна сумме длин отрезков BD и AD:$BA = BD + AD = 1 + 2 = 3$.

Пусть искомая окружность проходит через точки A и D и касается прямой BC в точке K. Точка B находится вне этой окружности. Из точки B к окружности проведены секущая BA и касательная BK. По теореме о касательной и секущей, квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей от точки B до точек пересечения с окружностью:$BK^2 = BD \cdot BA$Подставим известные значения:$BK^2 = 1 \cdot 3 = 3$Отсюда $BK = \sqrt{3}$.

Для нахождения радиуса окружности воспользуемся методом координат. Поместим вершину угла B в начало координат, то есть в точку $(0, 0)$. Направим луч BC вдоль положительной полуоси Ox. Тогда прямая BC совпадет с осью Ox. Луч BA будет выходить из начала координат под углом $30^\circ$ к положительному направлению оси Ox.

Координаты точек A и D, лежащих на луче BA, можно найти, зная их расстояния от точки B:Координаты точки D, для которой $BD=1$:$x_D = BD \cdot \cos(30^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$y_D = BD \cdot \sin(30^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$Итак, $D = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.

Координаты точки A, для которой $BA=3$:$x_A = BA \cdot \cos(30^\circ) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$y_A = BA \cdot \sin(30^\circ) = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$Итак, $A = (\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})$.

Точка касания K лежит на прямой BC (ось Ox) и удалена от точки B на расстояние $\sqrt{3}$. Это означает, что для координаты $x_K$ точки K возможны два случая: $x_K = \sqrt{3}$ или $x_K = -\sqrt{3}$. Рассмотрим оба случая.

Пусть O — центр искомой окружности, а R — её радиус. Так как окружность касается оси Ox в точке $K(x_K, 0)$, её центр должен лежать на перпендикуляре к оси Ox, проходящем через точку K. Следовательно, абсцисса центра равна $x_K$, а ордината равна радиусу R (или -R, но так как точки A и D лежат в первой четверти, окружность также должна находиться над осью Ox, поэтому $y_O=R > 0$). Таким образом, центр окружности имеет координаты $O(x_K, R)$.Уравнение окружности имеет вид: $(x - x_K)^2 + (y - R)^2 = R^2$.

Случай 1: Точка касания $K$ имеет координаты $(\sqrt{3}, 0)$.Центр окружности $O_1$ имеет координаты $(\sqrt{3}, R)$. Окружность проходит через точку D, поэтому её координаты должны удовлетворять уравнению окружности:$(\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})^2 + (\frac{1}{2} - R)^2 = R^2$$(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + \frac{1}{4} - R + R^2 = R^2$$\frac{3}{4} + \frac{1}{4} - R = 0$$1 - R = 0$$R = 1$.Проверим для точки A:$(\frac{3\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})^2 + (\frac{3}{2} - 1)^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$.Поскольку $R^2=1^2=1$, то и для точки A условие выполняется. Таким образом, $R=1$ является одним из решений.

Случай 2: Точка касания $K$ имеет координаты $(-\sqrt{3}, 0)$.Центр окружности $O_2$ имеет координаты $(-\sqrt{3}, R)$. Снова подставим координаты точки D в уравнение окружности:$(\frac{\sqrt{3}}{2} - (-\sqrt{3}))^2 + (\frac{1}{2} - R)^2 = R^2$$(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 + \frac{1}{4} - R + R^2 = R^2$$\frac{27}{4} + \frac{1}{4} - R = 0$$\frac{28}{4} - R = 0$$7 - R = 0$$R = 7$.Проверим для точки A:$(\frac{3\sqrt{3}}{2} - (-\sqrt{3}))^2 + (\frac{3}{2} - 7)^2 = (\frac{5\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{11}{2})^2 = \frac{75}{4} + \frac{121}{4} = \frac{196}{4} = 49$.Поскольку $R^2=7^2=49$, то и для точки A условие выполняется. Таким образом, $R=7$ является вторым возможным решением.

Задача имеет два решения. Поскольку в условии просят найти "радиус" в единственном числе, возможно, имелась в виду конфигурация, где точка касания лежит на луче BC, а не на всей прямой. Этому условию соответствует только первый случай. Однако, исходя из строгой формулировки "касающейся прямой BC", оба ответа являются верными.

Ответ: $R=1$ или $R=7$.