Страница 238 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

22. Окружности S₁ и S₂ радиусов R и r соответственно (R > r) касаются в точке A. Через точку B, лежащую на окружности S₁, проведена прямая, касающаяся окружности S₂ в точке M. Найдите отрезок BM, если известно, что AB = a.

Для решения данной задачи воспользуемся свойством степени точки относительно окружности. Степень точки $B$ относительно окружности $S_2$ равна квадрату длины отрезка касательной $BM$, проведенной из точки $B$ к этой окружности. Также степень точки $B$ можно выразить через отрезки секущей. Проведем прямую через точки $A$ и $B$. Пусть эта прямая пересекает окружность $S_2$ второй раз в точке $C$ (первая точка пересечения — $A$). По теореме о касательной и секущей, квадрат длины отрезка касательной $BM$ равен произведению длин отрезков секущей от точки $B$ до точек пересечения с окружностью: $BM^2 = BA \cdot BC$. Длина отрезка $BA$ нам известна по условию и равна $a$. Чтобы найти $BM$, нам необходимо найти длину отрезка $BC$. Для этого нужно определить положение точки $C$ на прямой $AB$. Это положение зависит от того, как именно касаются окружности — внешним или внутренним образом. Поскольку в условии задачи это не уточнено, рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1. Окружности касаются внешним образом.

В этом случае центры окружностей лежат на линии центров по разные стороны от точки касания $A$. Существует гомотетия с центром в точке $A$, переводящая окружность $S_2$ в окружность $S_1$. Так как окружности лежат по разные стороны от их общей касательной в точке $A$, коэффициент гомотетии $k$ будет отрицательным. Он равен отношению их радиусов, взятому со знаком минус: $k = -R/r$.

Эта гомотетия переводит точку $C$ (лежащую на окружности $S_2$ и прямой $AB$) в точку $B$ (лежащую на окружности $S_1$ и той же прямой). Следовательно, для векторов справедливо соотношение $\vec{AB} = k \cdot \vec{AC} = -\frac{R}{r} \vec{AC}$.

Из векторного равенства следует, что точки $B$, $A$ и $C$ лежат на одной прямой, причем точка $A$ находится между точками $B$ и $C$. Для длин отрезков справедливо равенство $AB = \frac{R}{r} AC$.

Так как по условию $AB = a$, мы можем выразить длину отрезка $AC$: $AC = a \frac{r}{R}$.

Теперь мы можем найти длину отрезка $BC$. Так как $A$ лежит между $B$ и $C$, то $BC = BA + AC$.

$BC = a + a \frac{r}{R} = a \left(1 + \frac{r}{R}\right) = a \frac{R+r}{R}$.

Подставляем найденные значения в формулу для степени точки $B$:

$BM^2 = BA \cdot BC = a \cdot \left(a \frac{R+r}{R}\right) = a^2 \frac{R+r}{R}$.

Отсюда находим искомую длину отрезка $BM$:

$BM = \sqrt{a^2 \frac{R+r}{R}} = a \sqrt{\frac{R+r}{R}}$.

Ответ: $BM = a \sqrt{\frac{R+r}{R}}$.

Случай 2. Окружности касаются внутренним образом.

Поскольку по условию $R>r$, окружность $S_2$ находится внутри окружности $S_1$. Их центры лежат на линии центров по одну сторону от точки касания $A$.

Гомотетия с центром в точке $A$, переводящая окружность $S_2$ в $S_1$, в этом случае имеет положительный коэффициент $k$, равный отношению их радиусов: $k = R/r$.

Эта гомотетия, как и в первом случае, переводит точку $C$ (вторую точку пересечения прямой $AB$ с окружностью $S_2$) в точку $B$. Таким образом, для векторов получаем $\vec{AB} = k \cdot \vec{AC} = \frac{R}{r} \vec{AC}$.

Положительный коэффициент гомотетии означает, что точки $B$ и $C$ лежат по одну сторону от центра гомотетии $A$. Так как $k = R/r > 1$, то $AB > AC$. Это значит, что на прямой точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$.

Для длин отрезков получаем $AB = \frac{R}{r} AC$, откуда, зная $AB = a$, находим $AC = a \frac{r}{R}$.

Длина отрезка $BC$ в этом случае равна разности длин $AB$ и $AC$: $BC = AB - AC$.

$BC = a - a \frac{r}{R} = a \left(1 - \frac{r}{R}\right) = a \frac{R-r}{R}$.

Теперь подставляем найденные значения в формулу для степени точки $B$ относительно окружности $S_2$: $BM^2 = BA \cdot BC$.

$BM^2 = a \cdot \left(a \frac{R-r}{R}\right) = a^2 \frac{R-r}{R}$.

Тогда искомая длина отрезка $BM$ равна:

$BM = \sqrt{a^2 \frac{R-r}{R}} = a \sqrt{\frac{R-r}{R}}$.

Ответ: $BM = a \sqrt{\frac{R-r}{R}}$.

23. Точка O — центр окружности радиуса 2. На продолжении радиуса OM за точку M взята точка A. Через точку A проведена прямая, касающаяся окружности в точке K. Известно, что ∠AOK = 60° Найдите радиус окружности, вписанной в угол OAK и касающейся данной окружности извне.

1. Рассмотрим треугольник $OAK$. Поскольку $AK$ — касательная к окружности, проведенная в точку $K$, радиус $OK$ перпендикулярен касательной $AK$. Следовательно, $\angle OKA = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $OAK$ является прямоугольным.

2. В прямоугольном треугольнике $OAK$ нам известны катет $OK$ (радиус данной окружности), равный $2$, и угол $\angle AOK = 60^\circ$. Найдем гипотенузу $OA$ и второй катет $AK$:
$OA = \frac{OK}{\cos(\angle AOK)} = \frac{2}{\cos(60^\circ)} = \frac{2}{1/2} = 4$.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, поэтому $\angle OAK = 90^\circ - \angle AOK = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

3. Пусть искомая окружность имеет центр $O'$ и радиус $r$. По условию, эта окружность вписана в угол $OAK$. Это означает, что ее центр $O'$ лежит на биссектрисе угла $OAK$, а расстояние от центра $O'$ до сторон угла $OA$ и $AK$ равно радиусу $r$.
Угол $OAK$ равен $30^\circ$, значит, биссектриса $AO'$ делит его на два угла по $15^\circ$. То есть, $\angle OAO' = 15^\circ$.

4. Также по условию, искомая окружность касается данной окружности внешним образом. Это означает, что расстояние между их центрами $O$ и $O'$ равно сумме их радиусов: $OO' = R + r = 2 + r$.

5. Рассмотрим треугольник $AOO'$. В нем известны сторона $OA = 4$, сторона $OO' = 2+r$ и угол $\angle OAO' = 15^\circ$. Чтобы найти $r$, мы можем использовать теорему косинусов. Для этого нам нужно найти длину стороны $AO'$.
Проведем из центра $O'$ перпендикуляр $O'P$ на сторону $OA$ (где $P$ — точка касания). Длина этого перпендикуляра равна радиусу $r$, т.е. $O'P=r$. В прямоугольном треугольнике $APO'$ катет $O'P$ лежит против угла $\angle PAO' = 15^\circ$.
Следовательно, $AO' = \frac{O'P}{\sin(15^\circ)} = \frac{r}{\sin(15^\circ)}$.

6. Теперь применим теорему косинусов к треугольнику $AOO'$:
$OO'^2 = OA^2 + AO'^2 - 2 \cdot OA \cdot AO' \cdot \cos(\angle OAO')$
$(2+r)^2 = 4^2 + \left(\frac{r}{\sin(15^\circ)}\right)^2 - 2 \cdot 4 \cdot \frac{r}{\sin(15^\circ)} \cdot \cos(15^\circ)$
$4 + 4r + r^2 = 16 + \frac{r^2}{\sin^2(15^\circ)} - 8r \frac{\cos(15^\circ)}{\sin(15^\circ)}$
$4 + 4r + r^2 = 16 + \frac{r^2}{\sin^2(15^\circ)} - 8r \cdot \cot(15^\circ)$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = 12 - 4r - 8r \cdot \cot(15^\circ) + r^2 \left(\frac{1}{\sin^2(15^\circ)} - 1\right)$
Используя тождество $\frac{1}{\sin^2\alpha} - 1 = \frac{1-\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \cot^2\alpha$, получаем квадратное уравнение относительно $r$:
$r^2 \cot^2(15^\circ) - r(8 \cot(15^\circ) + 4) + 12 = 0$

7. Решим это уравнение. Можно заметить, что $r=2$ является одним из корней. Проверим это. Для этого нам понадобится значение $\cot(15^\circ)$:
$\cot(15^\circ) = \cot(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\cot(45^\circ)\cot(30^\circ)+1}{\cot(30^\circ)-\cot(45^\circ)} = \frac{1 \cdot \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$.
Подставим $r=2$ и $\cot(15^\circ) = 2+\sqrt{3}$ в уравнение:
$2^2 (2+\sqrt{3})^2 - 2(8(2+\sqrt{3}) + 4) + 12 = 0$
$4(4+4\sqrt{3}+3) - 2(16+8\sqrt{3}+4) + 12 = 0$
$4(7+4\sqrt{3}) - 2(20+8\sqrt{3}) + 12 = 0$
$28+16\sqrt{3} - 40-16\sqrt{3} + 12 = 0$
$(28-40+12) + (16\sqrt{3}-16\sqrt{3}) = 0$
$0=0$.
Таким образом, $r_1=2$ является корнем уравнения.

8. Второй корень $r_2$ найдем по теореме Виета: $r_1 r_2 = \frac{c}{a}$.
$2 \cdot r_2 = \frac{12}{\cot^2(15^\circ)}$
$r_2 = \frac{6}{\cot^2(15^\circ)} = 6 \tan^2(15^\circ)$
Найдем $\tan(15^\circ)$:
$\tan(15^\circ) = \frac{1}{\cot(15^\circ)} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = 2-\sqrt{3}$.
$r_2 = 6 \cdot (2-\sqrt{3})^2 = 6 \cdot (4 - 4\sqrt{3} + 3) = 6 \cdot (7 - 4\sqrt{3}) = 42 - 24\sqrt{3}$.

9. Мы получили два возможных значения для радиуса. Корень $r_1 = 2$ соответствует окружности, центр которой находится вне треугольника $OAK$. Корень $r_2 = 42 - 24\sqrt{3} \approx 42 - 24 \cdot 1.732 = 0.432$ соответствует окружности, которая расположена в углу $A$ "между" точкой $A$ и данной окружностью. Эта конфигурация обычно и подразумевается в таких задачах.

Ответ: $42 - 24\sqrt{3}$.

24. Прямая касается окружностей радиусов R и r в точках A и B. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно a, причём r ‹ R и r + R ‹ a. Найдите AB.

Поскольку в условии задачи не уточнено, является ли прямая внешней или внутренней касательной по отношению к окружностям, существует два возможных случая и, соответственно, два решения.

Случай 1: Прямая является внешней общей касательной

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей с радиусами $R$ и $r$ соответственно, причем по условию $R > r$. Прямая касается этих окружностей в точках A и B. Расстояние между центрами $O_1O_2 = a$.

Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной: $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$. Это означает, что отрезки $O_1A$ и $O_2B$ параллельны друг другу. Таким образом, четырехугольник $ABO_2O_1$ представляет собой прямоугольную трапецию с основаниями $O_1A = R$, $O_2B = r$ и высотой $AB$.

Для нахождения высоты трапеции $AB$ проведем из центра меньшей окружности $O_2$ отрезок $O_2C$, параллельный $AB$, до пересечения с радиусом $O_1A$ в точке C. В результате образуется прямоугольник $ABO_2C$, из которого следует, что $AB = CO_2$ и $AC = O_2B = r$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle O_1CO_2$. Он является прямоугольным, так как $O_2C \perp O_1A$ (поскольку $O_2C \parallel AB$ и $AB \perp O_1A$). Гипотенуза этого треугольника равна расстоянию между центрами, то есть $O_1O_2 = a$. Длины катетов: $CO_2 = AB$, а $O_1C$ можно найти как разность длин радиуса $O_1A$ и отрезка $AC$: $O_1C = O_1A - AC = R - r$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $\triangle O_1CO_2$:

$(O_1O_2)^2 = (O_1C)^2 + (CO_2)^2$

Подставим известные значения:

$a^2 = (R-r)^2 + AB^2$

Выразим отсюда $AB$:

$AB^2 = a^2 - (R-r)^2$

$AB = \sqrt{a^2 - (R-r)^2}$

Ответ: $AB = \sqrt{a^2 - (R-r)^2}$.

Случай 2: Прямая является внутренней общей касательной

В этом случае окружности расположены по разные стороны от касательной прямой. Как и в предыдущем случае, радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной ($O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$), а значит, параллельны друг другу ($O_1A \parallel O_2B$).

Проведем из центра $O_2$ прямую, параллельную касательной $AB$, и продлим радиус $O_1A$ до пересечения с этой прямой в точке C. Полученный четырехугольник $ABO_2C$ является прямоугольником, поэтому $AB = CO_2$ и $AC = O_2B = r$.

Рассмотрим треугольник $\triangle O_1CO_2$. Он прямоугольный, так как $O_2C \perp O_1C$. Гипотенуза $O_1O_2$ равна $a$. Катет $CO_2$ равен искомой длине $AB$. Катет $O_1C$ равен сумме длин отрезков $O_1A$ и $AC$: $O_1C = O_1A + AC = R + r$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $\triangle O_1CO_2$:

$(O_1O_2)^2 = (O_1C)^2 + (CO_2)^2$

Подставим известные значения:

$a^2 = (R+r)^2 + AB^2$

Выразим отсюда $AB$:

$AB^2 = a^2 - (R+r)^2$

$AB = \sqrt{a^2 - (R+r)^2}$

Это решение возможно, поскольку по условию задачи $r+R < a$, что гарантирует, что выражение под корнем является положительным числом.

Ответ: $AB = \sqrt{a^2 - (R+r)^2}$.

25. Около треугольника ABC описана окружность с центром O, угол AOC равен 60°. В треугольник ABC вписана окружность с центром M. Найдите угол AMC.

Пусть $R$ — это радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности с центром в точке $O$. В треугольнике $AOC$ стороны $OA$ и $OC$ равны как радиусы этой окружности, то есть $OA = OC = R$. Следовательно, треугольник $AOC$ является равнобедренным.

По условию задачи, угол $\angle AOC = 60^\circ$. Равнобедренный треугольник, угол при вершине которого равен $60^\circ$, является равносторонним. Таким образом, все углы треугольника $AOC$ равны $60^\circ$, а все его стороны равны радиусу $R$. В частности, сторона $AC$ треугольника $ABC$ имеет длину $R$.

Применим теорему синусов к треугольнику $ABC$:
$\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = 2R$

Подставим в это равенство известное нам значение $AC = R$:
$\frac{R}{\sin(\angle ABC)} = 2R$
Так как радиус $R$ не может быть равен нулю, разделим обе части уравнения на $R$:
$\frac{1}{\sin(\angle ABC)} = 2$, откуда следует, что $\sin(\angle ABC) = \frac{1}{2}$.

Поскольку угол в треугольнике должен быть больше $0^\circ$ и меньше $180^\circ$, этому условию удовлетворяют два значения угла $\angle ABC$:
1. $\angle ABC = 30^\circ$ (если угол $B$ острый).
2. $\angle ABC = 150^\circ$ (если угол $B$ тупой).
Это означает, что задача имеет два возможных решения, так как оба случая допустимы.

Далее, $M$ — это центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. По определению, центр вписанной окружности (инцентр) является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Значит, отрезки $AM$ и $CM$ являются биссектрисами углов $\angle BAC$ и $\angle BCA$ соответственно.
То есть, $\angle MAC = \frac{1}{2}\angle BAC$ и $\angle MCA = \frac{1}{2}\angle BCA$.

Рассмотрим треугольник $AMC$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$:
$\angle AMC + \angle MAC + \angle MCA = 180^\circ$
Выразим искомый угол $\angle AMC$:
$\angle AMC = 180^\circ - (\angle MAC + \angle MCA) = 180^\circ - \left(\frac{1}{2}\angle BAC + \frac{1}{2}\angle BCA\right) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle BAC + \angle BCA)$.

Из свойства суммы углов треугольника $ABC$ мы знаем, что $\angle BAC + \angle BCA = 180^\circ - \angle ABC$.
Подставим это выражение в формулу для $\angle AMC$:
$\angle AMC = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ - \angle ABC) = 180^\circ - 90^\circ + \frac{1}{2}\angle ABC = 90^\circ + \frac{\angle ABC}{2}$.

Теперь мы можем найти численные значения угла $\angle AMC$ для каждого из двух возможных случаев.

Случай 1: $\angle ABC = 30^\circ$
Подставляем это значение в полученную формулу:
$\angle AMC = 90^\circ + \frac{30^\circ}{2} = 90^\circ + 15^\circ = 105^\circ$.

Случай 2: $\angle ABC = 150^\circ$
Подставляем это значение в формулу:
$\angle AMC = 90^\circ + \frac{150^\circ}{2} = 90^\circ + 75^\circ = 165^\circ$.

Ответ: $105^\circ$ или $165^\circ$.

26. Треугольник ABC вписан в окружность радиуса 12, AB = 6 и BC = 4. Найдите AC.

Для решения задачи воспользуемся обобщенной теоремой синусов и теоремой косинусов.

Пусть стороны треугольника $ABC$ равны $a = BC = 4$, $c = AB = 6$ и $b = AC$. Радиус описанной окружности $R=12$. Углы, противолежащие сторонам $a$, $b$, $c$, обозначим как $A$, $B$, $C$ соответственно.

Согласно обобщенной теореме синусов, для любого треугольника выполняется соотношение:$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

Найдем синусы углов $A$ и $C$:$\sin A = \frac{a}{2R} = \frac{4}{2 \cdot 12} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$
$\sin C = \frac{c}{2R} = \frac{6}{2 \cdot 12} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$

Для дальнейших вычислений нам понадобятся косинусы этих углов. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, откуда $\cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}$. Так как угол треугольника может быть как острым (косинус положительный), так и тупым (косинус отрицательный), мы должны рассмотреть все возможные случаи.
$\cos A = \pm\sqrt{1 - \sin^2 A} = \pm\sqrt{1 - \left(\frac{1}{6}\right)^2} = \pm\sqrt{1 - \frac{1}{36}} = \pm\frac{\sqrt{35}}{6}$
$\cos C = \pm\sqrt{1 - \sin^2 C} = \pm\sqrt{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \pm\sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$

Сумма углов в треугольнике $A+B+C = 180^\circ$, поэтому $A+C < 180^\circ$. Проанализируем возможные комбинации острых и тупых углов $A$ и $C$.
Пусть $\alpha = \arcsin(1/6)$ и $\gamma = \arcsin(1/4)$.
1. Оба угла $A$ и $C$ острые: $A = \alpha$, $C = \gamma$. Сумма $A+C = \alpha+\gamma < 90^\circ+90^\circ=180^\circ$. Этот случай возможен.
2. Угол $A$ острый, угол $C$ тупой: $A = \alpha$, $C = 180^\circ - \gamma$. Сумма $A+C = \alpha + 180^\circ - \gamma$. Для того чтобы $A+C < 180^\circ$, должно выполняться $\alpha < \gamma$. Так как $1/6 < 1/4$ и функция арксинус возрастающая, то $\arcsin(1/6) < \arcsin(1/4)$, т.е. $\alpha < \gamma$. Этот случай также возможен.
3. Угол $A$ тупой, угол $C$ острый: $A = 180^\circ - \alpha$, $C = \gamma$. Сумма $A+C = 180^\circ - \alpha + \gamma$. Для того чтобы $A+C < 180^\circ$, должно выполняться $\gamma < \alpha$, что неверно. Этот случай невозможен.
4. Оба угла $A$ и $C$ тупые. Сумма $A+C > 180^\circ$. Невозможно.

Таким образом, существуют два возможных треугольника, удовлетворяющих условию задачи. Найдем сторону $AC$ для каждого из них.
По теореме косинусов для стороны $AC$:$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$$b^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cos B = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \cos B = 52 - 48 \cos B$
Выразим $\cos B$ через углы $A$ и $C$: $B = 180^\circ - (A+C)$, следовательно $\cos B = \cos(180^\circ - (A+C)) = -\cos(A+C)$.
$\cos(A+C) = \cos A \cos C - \sin A \sin C$.

Случай 1: Углы $A$ и $C$ — острые.
$\cos A = \frac{\sqrt{35}}{6}$ и $\cos C = \frac{\sqrt{15}}{4}$.
$\cos(A+C) = \frac{\sqrt{35}}{6} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{525}}{24} - \frac{1}{24} = \frac{\sqrt{25 \cdot 21} - 1}{24} = \frac{5\sqrt{21} - 1}{24}$.
$\cos B = -\cos(A+C) = -\frac{5\sqrt{21} - 1}{24} = \frac{1 - 5\sqrt{21}}{24}$.
Так как $5\sqrt{21} > 1$, $\cos B < 0$, значит угол $B$ — тупой.
$AC^2 = 52 - 48 \left(\frac{1 - 5\sqrt{21}}{24}\right) = 52 - 2(1 - 5\sqrt{21}) = 52 - 2 + 10\sqrt{21} = 50 + 10\sqrt{21}$.
$AC = \sqrt{50 + 10\sqrt{21}}$. Это выражение можно упростить по формуле сложного радикала: $\sqrt{X+\sqrt{Y}} = \sqrt{\frac{X+\sqrt{X^2-Y}}{2}} + \sqrt{\frac{X-\sqrt{X^2-Y}}{2}}$.
$AC = \sqrt{50 + \sqrt{2100}} = \sqrt{\frac{50+\sqrt{2500-2100}}{2}} + \sqrt{\frac{50-\sqrt{2500-2100}}{2}} = \sqrt{\frac{50+20}{2}} + \sqrt{\frac{50-20}{2}} = \sqrt{35} + \sqrt{15}$.

Случай 2: Угол $A$ — острый, угол $C$ — тупой.
$\cos A = \frac{\sqrt{35}}{6}$ и $\cos C = -\frac{\sqrt{15}}{4}$.
$\cos(A+C) = \frac{\sqrt{35}}{6} \cdot \left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right) - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4} = -\frac{5\sqrt{21}}{24} - \frac{1}{24} = -\frac{5\sqrt{21} + 1}{24}$.
$\cos B = -\cos(A+C) = \frac{5\sqrt{21} + 1}{24}$.
Так как $\cos B > 0$, угол $B$ — острый.
$AC^2 = 52 - 48 \left(\frac{1 + 5\sqrt{21}}{24}\right) = 52 - 2(1 + 5\sqrt{21}) = 52 - 2 - 10\sqrt{21} = 50 - 10\sqrt{21}$.
$AC = \sqrt{50 - 10\sqrt{21}} = \sqrt{50 - \sqrt{2100}} = \sqrt{\frac{50+20}{2}} - \sqrt{\frac{50-20}{2}} = \sqrt{35} - \sqrt{15}$.

Оба решения являются корректными.
Ответ: $AC = \sqrt{35} + \sqrt{15}$ или $AC = \sqrt{35} - \sqrt{15}$.

27. На катетах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены окружности. Найдите их общую хорду, если катеты равны 3 и 4.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Катеты треугольника равны $AC = 3$ и $BC = 4$.

На катете $AC$ как на диаметре построена первая окружность, а на катете $BC$ как на диаметре — вторая. Окружности пересекаются в двух точках. Одной из точек пересечения является вершина $C$, так как она принадлежит обеим окружностям (лежит на концах диаметров). Обозначим вторую точку пересечения как $D$. Отрезок $CD$ является общей хордой этих двух окружностей.

Рассмотрим точку $D$. Так как точка $D$ лежит на первой окружности, построенной на диаметре $AC$, то угол $ADC$, опирающийся на диаметр, является прямым: $\angle ADC = 90^\circ$. Аналогично, так как точка $D$ лежит на второй окружности, построенной на диаметре $BC$, то угол $BDC$, опирающийся на диаметр, также является прямым: $\angle BDC = 90^\circ$.

Поскольку углы $\angle ADC$ и $\angle BDC$ — прямые, их сумма составляет $\angle ADC + \angle BDC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это означает, что угол $ADB$ является развернутым, а значит, точки $A$, $D$ и $B$ лежат на одной прямой. Эта прямая совпадает с гипотенузой $AB$ треугольника $ABC$.

Таким образом, общая хорда $CD$ является высотой, опущенной из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$.

Для нахождения длины этой высоты сначала найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$

2. Через гипотенузу и высоту, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD$

Приравнивая эти два выражения для площади, получаем:

$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD$

$AC \cdot BC = AB \cdot CD$

Отсюда можно выразить длину высоты (общей хорды) $CD$:

$CD = \frac{AC \cdot BC}{AB}$

Подставим известные значения:

$CD = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$

Ответ: $2.4$

28. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 13, 13 и 24 и расстояние между центрами этих окружностей.

Дан треугольник со сторонами $a = 13$, $b = 13$ и $c = 24$. Поскольку две стороны равны, треугольник является равнобедренным. Для нахождения радиусов и расстояния между центрами нам потребуется вычислить площадь $S$ и полупериметр $p$ треугольника.

1. Вычисление полупериметра и площади.

Полупериметр $p$ равен половине суммы длин всех сторон:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+13+24}{2} = \frac{50}{2} = 25$

Площадь $S$ найдем по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{25(25-13)(25-13)(25-24)} = \sqrt{25 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 1} = \sqrt{25 \cdot 144} = 5 \cdot 12 = 60$

Итак, площадь треугольника равна $60$.

2. Нахождение радиусов вписанной и описанной окружностей.

Радиус вписанной окружности ($r$) вычисляется по формуле:

$r = \frac{S}{p}$

Подставляем известные значения $S=60$ и $p=25$:

$r = \frac{60}{25} = \frac{12}{5} = 2.4$

Радиус описанной окружности ($R$) вычисляется по формуле:

$R = \frac{abc}{4S}$

Подставляем значения сторон и площади:

$R = \frac{13 \cdot 13 \cdot 24}{4 \cdot 60} = \frac{169 \cdot 24}{240} = \frac{169}{10} = 16.9$

Ответ: Радиус вписанной окружности равен $2.4$, а радиус описанной окружности равен $16.9$.

3. Нахождение расстояния между центрами этих окружностей.

Расстояние $d$ между центром вписанной окружности (инцентром) и центром описанной окружности (циркумцентром) находится по формуле Эйлера:

$d^2 = R(R - 2r)$

Подставляем найденные значения $R = 16.9$ и $r = 2.4$:

$d^2 = 16.9 \cdot (16.9 - 2 \cdot 2.4) = 16.9 \cdot (16.9 - 4.8) = 16.9 \cdot 12.1$

$d^2 = \frac{169}{10} \cdot \frac{121}{10} = \frac{169 \cdot 121}{100} = \frac{13^2 \cdot 11^2}{10^2}$

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти $d$:

$d = \sqrt{\frac{13^2 \cdot 11^2}{10^2}} = \frac{13 \cdot 11}{10} = \frac{143}{10} = 14.3$

Ответ: Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей равно $14.3$.

29. Окружность S₁ проходит через центр окружности S₂ и пересекает её в точках A и B. Хорда AC окружности S₁ касается окружности S₂ в точке A и делит первую окружность на дуги, градусные меры которых относятся как 5 : 7. Найдите градусные меры дуг, на которые окружность S₂ делится окружностью S₁.

1. Анализ данных о хорде AC в окружности S1

По условию, хорда AC делит окружность $S_1$ на две дуги, градусные меры которых относятся как $5:7$. Полная окружность составляет $360^\circ$.

Пусть градусные меры этих дуг равны $5x$ и $7x$. Тогда их сумма равна $360^\circ$:

$5x + 7x = 360^\circ$

$12x = 360^\circ$

$x = 30^\circ$

Следовательно, градусные меры дуг, на которые хорда AC делит окружность $S_1$, равны $5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$ и $7 \cdot 30^\circ = 210^\circ$. Градусная мера меньшей дуги AC равна $150^\circ$.

2. Использование условия касания и определение ключевых углов

Обозначим центры окружностей $S_1$ и $S_2$ как $O_1$ и $O_2$ соответственно. По условию, хорда AC окружности $S_1$ касается окружности $S_2$ в точке A. Это означает, что радиус $O_2A$ окружности $S_2$ перпендикулярен касательной AC. Таким образом, $\angle O_2AC = 90^\circ$.

Точки A, C и $O_2$ лежат на окружности $S_1$ (так как $O_2$ находится на $S_1$ по условию). Значит, треугольник $\triangle O_2AC$ вписан в окружность $S_1$. Поскольку угол $\angle O_2AC$ этого треугольника прямой, он опирается на диаметр. Следовательно, гипотенуза $O_2C$ является диаметром окружности $S_1$.

3. Нахождение углов вспомогательных треугольников

Рассмотрим треугольник $\triangle AO_1C$. Он равнобедренный, так как $O_1A = O_1C$ (радиусы окружности $S_1$). Центральный угол $\angle AO_1C$ опирается на меньшую дугу AC, градусная мера которой $150^\circ$. Таким образом, $\angle AO_1C = 150^\circ$. Углы при основании этого треугольника равны: $\angle O_1AC = \angle O_1CA = (180^\circ - 150^\circ) / 2 = 15^\circ$.

Теперь мы можем найти угол $\angle O_2AO_1$. Известно, что $\angle O_2AC = 90^\circ$ и $\angle O_1AC = 15^\circ$. Отсюда $\angle O_2AO_1 = \angle O_2AC - \angle O_1AC = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle O_1O_2A$. В нем стороны $O_1A$ и $O_1O_2$ являются радиусами окружности $S_1$ (так как точка $O_2$ лежит на $S_1$). Значит, $\triangle O_1O_2A$ — равнобедренный с основанием $O_2A$. Углы при основании равны: $\angle O_1O_2A = \angle O_1AO_2$. Так как мы нашли, что $\angle O_1AO_2 = 75^\circ$, то и $\angle O_1O_2A = 75^\circ$.

4. Вычисление искомых градусных мер дуг

Искомые дуги — это дуги AB на окружности $S_2$. Чтобы найти их градусные меры, нужно определить величину центрального угла $\angle AO_2B$ в окружности $S_2$.

Рассмотрим треугольники $\triangle O_1O_2A$ и $\triangle O_1O_2B$. Они равны по трем сторонам (признак SSS): $O_1A = O_1B$ (как радиусы $S_1$), $O_2A = O_2B$ (как радиусы $S_2$), и $O_1O_2$ — их общая сторона.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AO_2O_1 = \angle BO_2O_1$. Мы уже установили, что $\angle AO_2O_1 = \angle O_1O_2A = 75^\circ$. Следовательно, $\angle BO_2O_1 = 75^\circ$.

Центральный угол $\angle AO_2B$ в окружности $S_2$ равен сумме этих двух углов:

$\angle AO_2B = \angle AO_2O_1 + \angle BO_2O_1 = 75^\circ + 75^\circ = 150^\circ$.

Таким образом, градусная мера одной из дуг AB окружности $S_2$ равна $150^\circ$.

Градусная мера второй (большей) дуги AB равна $360^\circ - 150^\circ = 210^\circ$.

Ответ: Градусные меры дуг, на которые окружность $S_2$ делится окружностью $S_1$, равны $150^\circ$ и $210^\circ$.

30. На стороне BA угла ABC, равного 30°, взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC.

Пусть дан угол $\angle ABC = 30^\circ$. На стороне BA (точнее, на луче BA) лежат точки A и D. По условию, $BD = 1$ и $AD = 2$. Точки расположены на луче в порядке B-D-A, так как D находится на стороне BA. Длина отрезка BA равна сумме длин отрезков BD и AD:$BA = BD + AD = 1 + 2 = 3$.

Пусть искомая окружность проходит через точки A и D и касается прямой BC в точке K. Точка B находится вне этой окружности. Из точки B к окружности проведены секущая BA и касательная BK. По теореме о касательной и секущей, квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей от точки B до точек пересечения с окружностью:$BK^2 = BD \cdot BA$Подставим известные значения:$BK^2 = 1 \cdot 3 = 3$Отсюда $BK = \sqrt{3}$.

Для нахождения радиуса окружности воспользуемся методом координат. Поместим вершину угла B в начало координат, то есть в точку $(0, 0)$. Направим луч BC вдоль положительной полуоси Ox. Тогда прямая BC совпадет с осью Ox. Луч BA будет выходить из начала координат под углом $30^\circ$ к положительному направлению оси Ox.

Координаты точек A и D, лежащих на луче BA, можно найти, зная их расстояния от точки B:Координаты точки D, для которой $BD=1$:$x_D = BD \cdot \cos(30^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$y_D = BD \cdot \sin(30^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$Итак, $D = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.

Координаты точки A, для которой $BA=3$:$x_A = BA \cdot \cos(30^\circ) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$y_A = BA \cdot \sin(30^\circ) = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$Итак, $A = (\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})$.

Точка касания K лежит на прямой BC (ось Ox) и удалена от точки B на расстояние $\sqrt{3}$. Это означает, что для координаты $x_K$ точки K возможны два случая: $x_K = \sqrt{3}$ или $x_K = -\sqrt{3}$. Рассмотрим оба случая.

Пусть O — центр искомой окружности, а R — её радиус. Так как окружность касается оси Ox в точке $K(x_K, 0)$, её центр должен лежать на перпендикуляре к оси Ox, проходящем через точку K. Следовательно, абсцисса центра равна $x_K$, а ордината равна радиусу R (или -R, но так как точки A и D лежат в первой четверти, окружность также должна находиться над осью Ox, поэтому $y_O=R > 0$). Таким образом, центр окружности имеет координаты $O(x_K, R)$.Уравнение окружности имеет вид: $(x - x_K)^2 + (y - R)^2 = R^2$.

Случай 1: Точка касания $K$ имеет координаты $(\sqrt{3}, 0)$.Центр окружности $O_1$ имеет координаты $(\sqrt{3}, R)$. Окружность проходит через точку D, поэтому её координаты должны удовлетворять уравнению окружности:$(\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})^2 + (\frac{1}{2} - R)^2 = R^2$$(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + \frac{1}{4} - R + R^2 = R^2$$\frac{3}{4} + \frac{1}{4} - R = 0$$1 - R = 0$$R = 1$.Проверим для точки A:$(\frac{3\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})^2 + (\frac{3}{2} - 1)^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$.Поскольку $R^2=1^2=1$, то и для точки A условие выполняется. Таким образом, $R=1$ является одним из решений.

Случай 2: Точка касания $K$ имеет координаты $(-\sqrt{3}, 0)$.Центр окружности $O_2$ имеет координаты $(-\sqrt{3}, R)$. Снова подставим координаты точки D в уравнение окружности:$(\frac{\sqrt{3}}{2} - (-\sqrt{3}))^2 + (\frac{1}{2} - R)^2 = R^2$$(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 + \frac{1}{4} - R + R^2 = R^2$$\frac{27}{4} + \frac{1}{4} - R = 0$$\frac{28}{4} - R = 0$$7 - R = 0$$R = 7$.Проверим для точки A:$(\frac{3\sqrt{3}}{2} - (-\sqrt{3}))^2 + (\frac{3}{2} - 7)^2 = (\frac{5\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{11}{2})^2 = \frac{75}{4} + \frac{121}{4} = \frac{196}{4} = 49$.Поскольку $R^2=7^2=49$, то и для точки A условие выполняется. Таким образом, $R=7$ является вторым возможным решением.

Задача имеет два решения. Поскольку в условии просят найти "радиус" в единственном числе, возможно, имелась в виду конфигурация, где точка касания лежит на луче BC, а не на всей прямой. Этому условию соответствует только первый случай. Однако, исходя из строгой формулировки "касающейся прямой BC", оба ответа являются верными.

Ответ: $R=1$ или $R=7$.

31. В прямоугольном треугольнике ABC катеты AB и AC равны 4 и 3, точка D — середина гипотенузы BC. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ADC и ABD.

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ катеты $AB = 4$ и $AC = 3$, а прямой угол находится в вершине $A$. Найдем длину гипотенузы $BC$ по теореме Пифагора:$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Точка $D$ — середина гипотенузы $BC$. Следовательно, $AD$ является медианой, проведенной к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Таким образом,$AD = BD = DC = \frac{1}{2}BC = \frac{5}{2} = 2.5$.

Задача сводится к нахождению расстояния между центрами вписанных окружностей в треугольники $ABD$ и $ADC$. Обозначим эти центры как $O_1$ и $O_2$ соответственно.Для решения задачи воспользуемся методом координат. Поместим вершину $A$ в начало координат $(0, 0)$. Так как угол $BAC$ прямой, расположим катеты вдоль осей координат. Пусть вершина $B$ имеет координаты $(0, 4)$, а вершина $C$ — $(3, 0)$.

Координаты точки $D$, как середины отрезка $BC$, находятся как полусумма координат точек $B$ и $C$:$D = \left(\frac{0+3}{2}, \frac{4+0}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, 2\right)$.

Теперь найдем координаты центров вписанных окружностей. Координаты инцентра треугольника с вершинами $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $(x_3, y_3)$ и длинами противолежащих сторон $a, b, c$ вычисляются по формуле:$I = \left(\frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c}\right)$.

Найдем координаты центра $O_1$ вписанной окружности в $\triangle ABD$.
Вершины треугольника: $A(0, 0)$, $B(0, 4)$, $D(\frac{3}{2}, 2)$.
Длины сторон:

• $AB = 4$ (противолежит вершине D)
• $AD = \sqrt{(\frac{3}{2}-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$ (противолежит вершине B)
• $BD = \frac{5}{2}$ (противолежит вершине A)

Периметр $\triangle ABD$ равен $P_1 = 4 + \frac{5}{2} + \frac{5}{2} = 9$.
Координаты $O_1(x_1, y_1)$:$x_1 = \frac{\frac{5}{2} \cdot 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 + 4 \cdot \frac{3}{2}}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
$y_1 = \frac{\frac{5}{2} \cdot 0 + \frac{5}{2} \cdot 4 + 4 \cdot 2}{9} = \frac{10 + 8}{9} = \frac{18}{9} = 2$.
Таким образом, $O_1 = \left(\frac{2}{3}, 2\right)$.

Найдем координаты центра $O_2$ вписанной окружности в $\triangle ADC$.
Вершины треугольника: $A(0, 0)$, $D(\frac{3}{2}, 2)$, $C(3, 0)$.
Длины сторон:

• $AC = 3$ (противолежит вершине D)
• $AD = \frac{5}{2}$ (противолежит вершине C)
• $DC = \frac{5}{2}$ (противолежит вершине A)

Периметр $\triangle ADC$ равен $P_2 = 3 + \frac{5}{2} + \frac{5}{2} = 8$.
Координаты $O_2(x_2, y_2)$:$x_2 = \frac{\frac{5}{2} \cdot 0 + 3 \cdot \frac{3}{2} + \frac{5}{2} \cdot 3}{8} = \frac{\frac{9}{2} + \frac{15}{2}}{8} = \frac{\frac{24}{2}}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.
$y_2 = \frac{\frac{5}{2} \cdot 0 + 3 \cdot 2 + \frac{5}{2} \cdot 0}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
Таким образом, $O_2 = \left(\frac{3}{2}, \frac{3}{4}\right)$.

Найдем расстояние между точками $O_1$ и $O_2$.
Расстояние $d$ между точками $O_1\left(\frac{2}{3}, 2\right)$ и $O_2\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{4}\right)$ вычисляется по формуле:$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
$d = \sqrt{\left(\frac{3}{2} - \frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{3}{4} - 2\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{9-4}{6}\right)^2 + \left(\frac{3-8}{4}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{5}{6}\right)^2 + \left(-\frac{5}{4}\right)^2}$.
$d = \sqrt{\frac{25}{36} + \frac{25}{16}} = \sqrt{25 \left(\frac{1}{36} + \frac{1}{16}\right)} = 5 \sqrt{\frac{4+9}{144}} = 5 \sqrt{\frac{13}{144}} = \frac{5\sqrt{13}}{12}$.

Ответ: $\frac{5\sqrt{13}}{12}$.

32. Окружности с центрами O₁ и O₂ касаются друг друга извне в точке C. Прямая касается этих окружностей в точках A и B, отличных от точки C. Найдите угол AO₂B, если tg ∠ABC = $\frac{1}{2}$.

Пусть $r_1$ и $r_2$ — радиусы окружностей с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ соответственно, где $A$ — точка касания на первой окружности, а $B$ — на второй. Таким образом, $O_1A = r_1$ и $O_2B = r_2$.

1. Доказательство того, что $\angle ACB = 90^\circ$

Проведем общую касательную к обеим окружностям через точку их касания $C$. Пусть эта касательная пересекает прямую $AB$ в точке $M$. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных равны. Для окружности с центром $O_1$ имеем $MA = MC$. Для окружности с центром $O_2$ имеем $MB = MC$. Следовательно, $MA = MB = MC$.

Это означает, что точка $M$ является серединой отрезка $AB$, а медиана $CM$ треугольника $ABC$ равна половине стороны $AB$, к которой она проведена. По признаку прямоугольного треугольника, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. Таким образом, $\angle ACB = 90^\circ$.

2. Нахождение отношения радиусов $r_1$ и $r_2$

В прямоугольном треугольнике $ABC$ тангенс угла $ABC$ равен отношению противолежащего катета $AC$ к прилежащему катету $BC$: $\text{tg}(\angle ABC) = \frac{AC}{BC}$.По условию задачи $\text{tg}(\angle ABC) = \frac{1}{2}$, следовательно, $\frac{AC}{BC} = \frac{1}{2}$.

Теперь свяжем длины катетов $AC$ и $BC$ с радиусами окружностей.По теореме об угле между касательной и хордой, угол, образованный касательной $AB$ и хордой $BC$, равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $BC$. Центральный угол $\angle BO_2C$, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше этого вписанного угла.Значит, $\angle BO_2C = 2 \angle ABC$.

Аналогично для первой окружности, $\angle AO_1C = 2 \angle BAC$. Поскольку $\triangle ABC$ прямоугольный, $\angle BAC = 90^\circ - \angle ABC$.Следовательно, $\angle AO_1C = 2(90^\circ - \angle ABC) = 180^\circ - 2\angle ABC$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $AO_1C$ ($O_1A=O_1C=r_1$). Угол при основании $\angle O_1CA = \frac{180^\circ - \angle AO_1C}{2} = \frac{180^\circ - (180^\circ - 2\angle ABC)}{2} = \angle ABC$.По теореме синусов в $\triangle AO_1C$:$\frac{AC}{\sin(\angle AO_1C)} = \frac{r_1}{\sin(\angle O_1CA)} \implies AC = \frac{r_1 \sin(180^\circ - 2\angle ABC)}{\sin(\angle ABC)} = \frac{r_1 \sin(2\angle ABC)}{\sin(\angle ABC)} = 2r_1\cos(\angle ABC)$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $BO_2C$ ($O_2B=O_2C=r_2$). Угол при основании $\angle O_2CB = \frac{180^\circ - \angle BO_2C}{2} = \frac{180^\circ - 2\angle ABC}{2} = 90^\circ - \angle ABC$.По теореме синусов в $\triangle BO_2C$:$\frac{BC}{\sin(\angle BO_2C)} = \frac{r_2}{\sin(\angle O_2CB)} \implies BC = \frac{r_2 \sin(2\angle ABC)}{\sin(90^\circ - \angle ABC)} = \frac{r_2 \cdot 2\sin(\angle ABC)\cos(\angle ABC)}{\cos(\angle ABC)} = 2r_2\sin(\angle ABC)$.

Теперь подставим полученные выражения для $AC$ и $BC$ в соотношение $\frac{AC}{BC} = \frac{1}{2}$:$\frac{2r_1\cos(\angle ABC)}{2r_2\sin(\angle ABC)} = \frac{1}{2}$$\frac{r_1}{r_2} \text{ctg}(\angle ABC) = \frac{1}{2}$

Так как $\text{tg}(\angle ABC) = \frac{1}{2}$, то $\text{ctg}(\angle ABC) = 2$.$\frac{r_1}{r_2} \cdot 2 = \frac{1}{2} \implies \frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{4}$.

3. Нахождение угла $AO_2B$

Рассмотрим треугольник $ABO_2$. Радиус $O_2B$ проведен в точку касания $B$, поэтому он перпендикулярен касательной $AB$. Следовательно, $\angle ABO_2 = 90^\circ$, и треугольник $ABO_2$ является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $ABO_2$ тангенс угла $AO_2B$ равен отношению противолежащего катета $AB$ к прилежащему катету $O_2B$:$\text{tg}(\angle AO_2B) = \frac{AB}{O_2B}$

Длина отрезка общей внешней касательной $AB$ для двух окружностей, касающихся внешне с радиусами $r_1$ и $r_2$, вычисляется по формуле $AB = 2\sqrt{r_1 r_2}$.Подставляем это выражение и $O_2B = r_2$:$\text{tg}(\angle AO_2B) = \frac{2\sqrt{r_1 r_2}}{r_2} = 2\sqrt{\frac{r_1 r_2}{r_2^2}} = 2\sqrt{\frac{r_1}{r_2}}$.

Мы уже нашли, что $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{4}$. Подставляем это значение в формулу для тангенса:$\text{tg}(\angle AO_2B) = 2\sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Угол в прямоугольном треугольнике, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$.Следовательно, $\angle AO_2B = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

33. Окружности радиусов 4 и 9 касаются друг друга извне, лежат по одну сторону от некоторой прямой и касаются этой прямой. Найдите радиус окружности, касающейся двух данных окружностей и данной прямой.

Обозначим радиусы данных окружностей как $R_1$ и $R_2$, а радиус искомой окружности как $r$. По условию задачи имеем $R_1 = 4$ и $R_2 = 9$. Все три окружности касаются одной и той же прямой, которую мы обозначим $l$, и лежат по одну сторону от нее.

Для начала найдем общую формулу для расстояния между точками касания двух окружностей, которые касаются друг друга и прямой $l$. Пусть две окружности с радиусами $R_a$ и $R_b$ касаются друг друга внешне, а также касаются прямой $l$ в точках $T_a$ и $T_b$. Пусть их центры — $O_a$ и $O_b$. Расстояние от центра каждой окружности до прямой $l$ равно ее радиусу.

Проведем из центра меньшей окружности (например, $O_a$) отрезок, параллельный прямой $l$, до пересечения с радиусом $O_bT_b$ в точке $P$. Образуется прямоугольный треугольник $O_aPO_b$.

В этом треугольнике:
• Гипотенуза $O_aO_b$ — это расстояние между центрами, которое равно сумме радиусов, так как окружности касаются внешне: $O_aO_b = R_a + R_b$.
• Катет $O_bP$ равен разности радиусов: $O_bP = |R_b - R_a|$.
• Катет $O_aP$ равен искомому расстоянию $d_{ab}$ между точками касания $T_a$ и $T_b$ на прямой $l$.

Применим теорему Пифагора: $(O_aP)^2 + (O_bP)^2 = (O_aO_b)^2$.
$d_{ab}^2 + (R_b - R_a)^2 = (R_a + R_b)^2$.
Выразим $d_{ab}^2$:
$d_{ab}^2 = (R_a + R_b)^2 - (R_b - R_a)^2$.
Используя формулу разности квадратов, получаем:
$d_{ab}^2 = ((R_a + R_b) - (R_b - R_a))((R_a + R_b) + (R_b - R_a)) = (2R_a)(2R_b) = 4R_aR_b$.
Отсюда, расстояние между точками касания: $d_{ab} = \sqrt{4R_aR_b} = 2\sqrt{R_aR_b}$.

Теперь вернемся к нашей задаче. Искомая окружность с радиусом $r$ касается двух данных окружностей и прямой. Расположим ее в пространстве между двумя данными окружностями. В этом случае ее точка касания $T_3$ с прямой $l$ будет лежать на отрезке между точками касания $T_1$ и $T_2$ первых двух окружностей.

Это означает, что расстояние между точками $T_1$ и $T_2$ равно сумме расстояний между $T_1$ и $T_3$, и между $T_3$ и $T_2$:
$d_{12} = d_{13} + d_{23}$.

Используя выведенную нами формулу, запишем это равенство через радиусы:
$2\sqrt{R_1R_2} = 2\sqrt{R_1r} + 2\sqrt{R_2r}$.

Сократив обе части уравнения на 2, получим:
$\sqrt{R_1R_2} = \sqrt{R_1r} + \sqrt{R_2r}$.
Вынесем $\sqrt{r}$ за скобки в правой части:
$\sqrt{R_1R_2} = \sqrt{r}(\sqrt{R_1} + \sqrt{R_2})$.

Отсюда выразим $\sqrt{r}$:
$\sqrt{r} = \frac{\sqrt{R_1R_2}}{\sqrt{R_1} + \sqrt{R_2}}$.

Подставим известные значения $R_1=4$ и $R_2=9$:
$\sqrt{r} = \frac{\sqrt{4 \cdot 9}}{\sqrt{4} + \sqrt{9}} = \frac{\sqrt{36}}{2 + 3} = \frac{6}{5}$.

Чтобы найти искомый радиус $r$, возведем полученное значение в квадрат:
$r = \left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{36}{25} = 1.44$.

Ответ: $1.44$.

34. На стороне AB треугольника ABC отмечена точка D так, что ∠BCD = ∠BAC. Найдите CD, если BC = a, AC = b и AB = c.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CBD$.Угол $\angle B$ (или $\angle ABC$) является общим для обоих треугольников.Согласно условию задачи, $\angle BCD = \angle BAC$.Следовательно, треугольники $\triangle CBD$ и $\triangle ABC$ подобны по двум равным углам (первый признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны. Важно правильно сопоставить вершины:вершине $C$ треугольника $\triangle CBD$ соответствует вершина $A$ треугольника $\triangle ABC$ (так как $\angle BCD = \angle BAC$);вершина $B$ является общей;вершине $D$ треугольника $\triangle CBD$ соответствует вершина $C$ треугольника $\triangle ABC$ (так как $\angle CDB$ и $\angle ACB$ являются третьими углами в треугольниках с двумя парами равных углов).

Запишем соотношение пропорциональности для сторон, лежащих напротив равных углов (стороны $\triangle CBD$ к сторонам $\triangle ABC$):$ \frac{CD}{AC} = \frac{BC}{AB} = \frac{BD}{BC} $

Подставим в данное соотношение известные из условия длины сторон: $BC = a$, $AC = b$ и $AB = c$.$ \frac{CD}{b} = \frac{a}{c} = \frac{BD}{a} $

Чтобы найти длину отрезка $CD$, используем первую и вторую части этой пропорции:$ \frac{CD}{b} = \frac{a}{c} $

Выразим $CD$ из этого равенства:$ CD = b \cdot \frac{a}{c} = \frac{ab}{c} $

Ответ: $CD = \frac{ab}{c}$