Страница 232 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

4. Основание AB равнобедренного треугольника ABC равно 9,6. Найдите AC, если sin A = $\frac{7}{25}$.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. По условию задачи $AB = 9,6$ и $\sin A = \frac{7}{25}$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны ($AC = BC$), а также равны углы при основании ($\angle A = \angle B$).

Для нахождения длины стороны $AC$ проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является одновременно и медианой, и биссектрисой.

Поскольку $CH$ — высота, она перпендикулярна основанию $AB$, следовательно, треугольник $AHC$ является прямоугольным ($\angle AHC = 90^\circ$).

Так как $CH$ — медиана, она делит основание $AB$ на две равные части:
$AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{9,6}{2} = 4,8$.

В прямоугольном треугольнике $AHC$ косинус угла $A$ определяется как отношение прилежащего катета $AH$ к гипотенузе $AC$:
$\cos A = \frac{AH}{AC}$
Из этого соотношения мы можем выразить искомую сторону $AC$:
$AC = \frac{AH}{\cos A}$

Чтобы найти $\cos A$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$.
$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625}$.
Угол $A$ в треугольнике является острым (иначе сумма двух углов при основании была бы не меньше 180°), поэтому его косинус положителен.
$\cos A = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$.

Теперь подставим известные значения в формулу для $AC$:
$AC = \frac{4,8}{\frac{24}{25}} = 4,8 \cdot \frac{25}{24} = \frac{4,8 \cdot 25}{24} = \frac{0,2 \cdot 24 \cdot 25}{24} = 0,2 \cdot 25 = 5$.

Ответ: 5

5. Основание AB равнобедренного треугольника ABC равно 40. Найдите sin A, если AC = 25.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. По условию, длина основания $AB = 40$, а длина боковой стороны $AC = 25$. Так как треугольник равнобедренный, то другая боковая сторона $BC$ также равна 25.

Чтобы найти синус угла $A$, нам нужен прямоугольный треугольник. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой.

Это означает, что высота $CH$ делит основание $AB$ на два равных отрезка: $AH$ и $HB$.
$AH = \frac{AB}{2} = \frac{40}{2} = 20$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ (угол $\angle CHA = 90^\circ$). В этом треугольнике:

• Гипотенуза $AC = 25$.
• Катет $AH = 20$.
• Катет $CH$ — высота треугольника $ABC$.

По теореме Пифагора найдем длину катета $CH$:
$AC^2 = AH^2 + CH^2$
$CH^2 = AC^2 - AH^2 = 25^2 - 20^2 = 625 - 400 = 225$
$CH = \sqrt{225} = 15$.

Синус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы. В треугольнике $ACH$ для угла $A$:

• Противолежащий катет — $CH = 15$.
• Гипотенуза — $AC = 25$.

Следовательно,
$\sin A = \frac{CH}{AC} = \frac{15}{25}$.

Сократим дробь и представим в виде десятичного числа:
$\sin A = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0.6$.

Ответ: 0.6

6. В треугольнике ABC угол C прямой, высота CH равна 7. Найдите cos A, если BH = 24.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Высота $CH$, проведенная к гипотенузе $AB$, делит его на два меньших прямоугольных треугольника: $\triangle ACH$ и $\triangle BCH$.

В основном треугольнике $ABC$ сумма острых углов равна $90^\circ$, то есть $\angle A + \angle B = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCH$ (поскольку $CH$ - высота, $\angle CHB = 90^\circ$). В нем сумма острых углов также равна $90^\circ$: $\angle B + \angle BCH = 90^\circ$.

Сравнивая два полученных равенства, видим, что $\angle A = \angle BCH$. Следовательно, косинусы этих углов также равны: $\cos A = \cos(\angle BCH)$.

Теперь найдем $\cos(\angle BCH)$ в прямоугольном треугольнике $BCH$. По определению, косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Для угла $\angle BCH$ прилежащим катетом является $CH$, а гипотенузой — $BC$.

$\cos(\angle BCH) = \frac{CH}{BC}$

Нам известны длины катетов треугольника $BCH$: $CH = 7$ (по условию) и $BH = 24$ (по условию). Мы можем найти длину гипотенузы $BC$ по теореме Пифагора:

$BC^2 = CH^2 + BH^2$

$BC^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$

$BC = \sqrt{625} = 25$

Теперь, зная длину гипотенузы $BC$, мы можем вычислить косинус:

$\cos(\angle BCH) = \frac{CH}{BC} = \frac{7}{25}$

Так как $\cos A = \cos(\angle BCH)$, то $\cos A = \frac{7}{25}$.

Ответ: $\frac{7}{25}$.

7. В треугольнике ABC угол C прямой. Найдите косинус внешнего угла при вершине B, если tg A = $\frac{24}{7}$.

Пусть внешний угол при вершине B треугольника ABC обозначается как $\angle B_{внешн}$, а внутренний угол при этой же вершине — как $\angle B$.

Внешний и внутренний углы при одной вершине являются смежными, поэтому их сумма составляет $180^\circ$. $\angle B_{внешн} + \angle B = 180^\circ$.

Косинус внешнего угла можно выразить через косинус внутреннего угла с помощью формулы приведения: $\cos(\angle B_{внешн}) = \cos(180^\circ - \angle B) = -\cos(\angle B)$. Следовательно, наша задача — найти значение $\cos(\angle B)$.

По условию, в треугольнике ABC угол C прямой ($\angle C = 90^\circ$). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$: $\angle A + \angle B = 90^\circ$.

Для комплементарных углов A и B (углов, дающих в сумме $90^\circ$) справедливы следующие тригонометрические тождества: $\sin A = \cos B$ и $\cos A = \sin B$. Таким образом, чтобы найти $\cos B$, нам достаточно найти $\sin A$.

Нам дан тангенс угла A: $\text{tg} A = \frac{24}{7}$. По определению тангенса в прямоугольном треугольнике, $\text{tg} A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{AC}$. Пусть длина катета $BC = 24k$, а катета $AC = 7k$, где $k$ — положительный коэффициент пропорциональности.

Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$ $AB^2 = (7k)^2 + (24k)^2 = 49k^2 + 576k^2 = 625k^2$ $AB = \sqrt{625k^2} = 25k$.

Теперь мы можем найти синус угла A, который равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{24k}{25k} = \frac{24}{25}$.

Поскольку $\cos B = \sin A$, получаем: $\cos B = \frac{24}{25}$.

Наконец, вычислим косинус внешнего угла при вершине B: $\cos(\angle B_{внешн}) = -\cos B = -\frac{24}{25}$.

Ответ: $-\frac{24}{25}$

8. В параллелограмме ABCD cos A = 5110. Найдите sin B.

В параллелограмме ABCD сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, для углов A и B справедливо равенство:

$A + B = 180^\circ$

Отсюда можно выразить угол B через угол A:

$B = 180^\circ - A$

Для нахождения $\sin B$ воспользуемся формулой приведения для синуса: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$. Применив ее, получаем:

$\sin B = \sin(180^\circ - A) = \sin A$

Теперь задача сводится к нахождению $\sin A$, зная значение $\cos A$. Для этого используем основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$

Выразим из него $\sin^2 A$:

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$

Подставим в это уравнение известное значение $\cos A = \frac{\sqrt{51}}{10}$:

$\sin^2 A = 1 - \left(\frac{\sqrt{51}}{10}\right)^2 = 1 - \frac{51}{100} = \frac{100 - 51}{100} = \frac{49}{100}$

Угол в параллелограмме находится в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$. Синус угла в этом диапазоне всегда неотрицателен ($\sin A \ge 0$), поэтому, извлекая корень, мы берем положительное значение:

$\sin A = \sqrt{\frac{49}{100}} = \frac{7}{10}$

Так как мы ранее установили, что $\sin B = \sin A$, то искомое значение равно:

$\sin B = \frac{7}{10} = 0,7$

Ответ: $0,7$

9. Основания равнобедренной трапеции равны 31 и 45, а боковая сторона равна 25. Найдите синус острого угла трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию задачи, большее основание $AD = 45$, меньшее основание $BC = 31$, а боковые стороны $AB = CD = 25$. Острый угол трапеции — это угол при большем основании, обозначим его $\alpha$ (например, $\angle A = \alpha$).

Для нахождения синуса этого угла, проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на основание $AD$. В результате получим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$.

В равнобедренной трапеции, если провести две высоты из вершин меньшего основания ($BH$ и $CK$), они разделят большее основание на три отрезка. Центральный отрезок $HK$ будет равен меньшему основанию $BC$, а два крайних отрезка $AH$ и $KD$ будут равны между собой.

Найдем длину отрезка $AH$:

$AH = \frac{AD - BC}{2}$

Подставим значения оснований:

$AH = \frac{45 - 31}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. Мы знаем длину гипотенузы $AB$ (боковая сторона трапеции) и длину катета $AH$.

• Гипотенуза $AB = 25$
• Катет $AH = 7$

Синус острого угла $\alpha$ в этом треугольнике равен отношению противолежащего катета $BH$ к гипотенузе $AB$:

$\sin(\alpha) = \frac{BH}{AB}$

Чтобы найти синус, нам нужно сначала вычислить длину высоты $BH$. Сделаем это с помощью теоремы Пифагора:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

Отсюда выразим $BH^2$:

$BH^2 = AB^2 - AH^2$

$BH^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$

$BH = \sqrt{576} = 24$

Теперь, когда мы знаем высоту, мы можем найти синус острого угла:

$\sin(\alpha) = \frac{BH}{AB} = \frac{24}{25}$

При желании, можно перевести эту дробь в десятичную: $\frac{24}{25} = 0,96$.

Ответ: $\frac{24}{25}$.

10. Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12, а синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, большее основание $AD = 12$, а меньшее основание $BC = 6$. Трапеция является равнобедренной, поэтому её боковые стороны равны ($AB = CD$), а углы при основаниях равны. Пусть $\angle A$ — острый угол при основании $AD$. По условию, синус этого угла равен $\sin(\angle A) = 0,8$.

Для решения задачи опустим из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на большее основание $AD$. Так как $BC \parallel AD$ и $BH \perp AD$, $CK \perp AD$, то четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником. Следовательно, $HK = BC = 6$.

Треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ являются прямоугольными. Они равны по гипотенузе ($AB = CD$) и катету ($BH = CK$ как высоты трапеции). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: $AH = KD$.

Длина большего основания $AD$ может быть представлена как сумма длин отрезков: $AD = AH + HK + KD$. Заменив $KD$ на $AH$ и подставив известные значения, получим:
$12 = AH + 6 + AH$
$12 = 2 \cdot AH + 6$
$2 \cdot AH = 12 - 6$
$2 \cdot AH = 6$
$AH = 3$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. Мы знаем длину катета $AH = 3$ и синус острого угла $\angle A$. Наша цель — найти длину гипотенузы $AB$, которая является боковой стороной трапеции.

В прямоугольном треугольнике косинус острого угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB}$. Чтобы воспользоваться этой формулой, сначала найдем значение $\cos(\angle A)$.

Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\angle A) + \cos^2(\angle A) = 1$.
$\cos^2(\angle A) = 1 - \sin^2(\angle A)$
$\cos^2(\angle A) = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$
Поскольку $\angle A$ — острый угол, его косинус положителен: $\cos(\angle A) = \sqrt{0,36} = 0,6$.

Теперь, зная $AH$ и $\cos(\angle A)$, мы можем вычислить длину боковой стороны $AB$:
$AB = \frac{AH}{\cos(\angle A)} = \frac{3}{0,6} = \frac{30}{6} = 5$.

Ответ: 5

11. Найдите синус угла AOB (рис. 238). В ответе укажите значение синуса, умноженное на 5.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку O, а ось абсцисс (Ox) направим вдоль луча OA. Длину стороны одной клетки примем за единицу.

В этой системе координат определим координаты точек A и B:

1. Точка O является началом координат, поэтому ее координаты $O(0; 0)$.

2. Точка A лежит на положительной части оси Ox на расстоянии 3 клеток от O, следовательно, ее координаты $A(3; 0)$.

3. Чтобы попасть из точки O в точку B, необходимо сместиться на 2 клетки влево (вдоль оси Ox в отрицательном направлении) и на 4 клетки вверх (вдоль оси Oy в положительном направлении). Таким образом, координаты точки B будут $B(-2; 4)$.

Угол AOB — это угол между векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$. Найдем координаты этих векторов, вычитая из координат конца координаты начала:

$\vec{OA} = (3-0; 0-0) = (3; 0)$

$\vec{OB} = (-2-0; 4-0) = (-2; 4)$

Синус угла $\alpha$ между двумя векторами $\vec{a}=(x_1, y_1)$ и $\vec{b}=(x_2, y_2)$ можно найти по формуле:

$\sin(\alpha) = \frac{|x_1y_2 - x_2y_1|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Найдем длины (модули) векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$:

$|\vec{OA}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$

$|\vec{OB}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

Теперь подставим полученные значения в формулу для синуса угла AOB:

$\sin(\angle AOB) = \frac{|3 \cdot 4 - (-2) \cdot 0|}{3 \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{|12 - 0|}{6\sqrt{5}} = \frac{12}{6\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Согласно условию, в ответе необходимо указать значение синуса, умноженное на $\sqrt{5}$. Вычислим это значение:

$\sin(\angle AOB) \cdot \sqrt{5} = \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{5} = 2$

Ответ: 2

12. Один из углов равнобедренного треугольника равен 98°. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Рассмотрим два возможных случая расположения угла в $98^\circ$.

Случай 1: Данный угол является одним из углов при основании.

Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то второй угол при основании также будет равен $98^\circ$. Сумма этих двух углов составит:

$98^\circ + 98^\circ = 196^\circ$

Эта сумма уже превышает $180^\circ$, что невозможно для треугольника. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: Данный угол является углом при вершине (угол, противолежащий основанию).

В этом случае два других угла являются углами при основании и равны между собой. Обозначим величину каждого из этих углов за $x$. Тогда сумма всех углов треугольника будет:

$98^\circ + x + x = 180^\circ$

Решим это уравнение:

$98^\circ + 2x = 180^\circ$

$2x = 180^\circ - 98^\circ$

$2x = 82^\circ$

$x = \frac{82^\circ}{2}$

$x = 41^\circ$

Таким образом, два других угла равны по $41^\circ$. В задаче просят найти один из других углов.

Ответ: 41

13. В треугольнике ABC отрезок AD — биссектриса, угол C равен 30°, угол BAD равен 18°. Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах.

По условию задачи, отрезок $AD$ является биссектрисой угла $A$ в треугольнике $ABC$. Биссектриса делит угол на две равные части, поэтому $\angle BAD = \angle CAD$.

Нам дано, что $\angle BAD = 18^\circ$. Отсюда следует, что и вторая половина угла $A$, то есть $\angle CAD$, также равна $18^\circ$.

Теперь мы можем найти полную величину угла $A$ ($\angle BAC$) треугольника $ABC$:
$\angle BAC = \angle BAD + \angle CAD = 18^\circ + 18^\circ = 36^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ мы знаем два угла: $\angle BAC = 36^\circ$ и $\angle C = 30^\circ$ (дано в условии). Найдем третий угол, $\angle B$ (или $\angle ABC$):
$\angle B = 180^\circ - \angle BAC - \angle C = 180^\circ - 36^\circ - 30^\circ = 180^\circ - 66^\circ = 114^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Мы хотим найти угол $\angle ADB$. Сумма углов в этом треугольнике также равна $180^\circ$. Нам известны два угла в треугольнике $ABD$:
1. $\angle BAD = 18^\circ$ (из условия).
2. $\angle ABD$ (это тот же угол, что и $\angle B$ треугольника $ABC$), который равен $114^\circ$.

Вычислим искомый угол $\angle ADB$:
$\angle ADB = 180^\circ - \angle BAD - \angle ABD = 180^\circ - 18^\circ - 114^\circ = 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ$.

Ответ: 48

14. Углы A и B треугольника ABC равны 58° и 72°, высоты AA₁ и BB₁ пересекаются в точке O. Найдите величину угла A₁OB₁. Ответ дайте в градусах.

Для решения задачи сначала найдем величину угла $C$ в треугольнике $ABC$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180°$. Зная углы $A$ и $B$, получаем:

$?C = 180° - (?A + ?B) = 180° - (58° + 72°) = 180° - 130° = 50°$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $CA_1OB_1$. В нем $AA_1$ и $BB_1$ являются высотами треугольника $ABC$, опущенными на стороны $BC$ и $AC$ соответственно. По определению высоты, они перпендикулярны этим сторонам:

$AA_1 \perp BC \Rightarrow ?CA_1O = 90°$

$BB_1 \perp AC \Rightarrow ?CB_1O = 90°$

Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна $360°$. Для четырехугольника $CA_1OB_1$ это можно записать в виде уравнения:

$?C + ?CA_1O + ?A_1OB_1 + ?OB_1C = 360°$

Подставим известные значения углов в это равенство:

$50° + 90° + ?A_1OB_1 + 90° = 360°$

Теперь мы можем найти величину искомого угла $?A_1OB_1$:

$?A_1OB_1 = 360° - 50° - 90° - 90° = 360° - 230° = 130°$.

Ответ: 130

15. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, где $\angle C = 90^\circ$. Углы $\angle A$ и $\angle B$ являются его острыми углами.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Следовательно, для острых углов прямоугольного треугольника справедливо соотношение:
$\angle A + \angle B + 90^\circ = 180^\circ$
$\angle A + \angle B = 90^\circ$

Проведем биссектрисы острых углов $\angle A$ и $\angle B$. Пусть $AL$ — биссектриса угла $\angle A$, а $BM$ — биссектриса угла $\angle B$. Обозначим точку их пересечения как $O$.

По определению биссектрисы:
$\angle OAB = \frac{\angle A}{2}$
$\angle OBA = \frac{\angle B}{2}$

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$, образованный отрезками биссектрис и стороной $AB$. Сумма углов в этом треугольнике равна $180^\circ$:
$\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$

Подставим известные нам значения углов:
$\angle AOB + \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} = 180^\circ$
Вынесем общий множитель за скобки:
$\angle AOB + \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) = 180^\circ$

Так как мы знаем, что $\angle A + \angle B = 90^\circ$, подставим это значение в уравнение:
$\angle AOB + \frac{1}{2}(90^\circ) = 180^\circ$
$\angle AOB + 45^\circ = 180^\circ$
$\angle AOB = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

Полученный угол $\angle AOB = 135^\circ$ является тупым углом между биссектрисами. Биссектрисы при пересечении образуют две пары вертикальных углов, одна пара — тупые углы, другая — острые. Острый угол является смежным с найденным тупым углом, поэтому его величина равна:
$180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$

16. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 20°. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Пусть его острые углы равны $\angle A$ и $\angle B$. Из вершины $C$ на гипотенузу $AB$ проведены высота $CH$ и медиана $CM$. По условию задачи, угол между ними равен $20^\circ$, то есть $\angle HCM = 20^\circ$.

Рассмотрим свойства медианы, проведённой к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Длина этой медианы равна половине длины гипотенузы: $CM = AM = BM = \frac{1}{2}AB$.

Это означает, что треугольники $AMC$ и $BMC$ являются равнобедренными. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, в треугольнике $AMC$ имеем $\angle MCA = \angle MAC = \angle A$. Аналогично, в треугольнике $BMC$ имеем $\angle MCB = \angle MBC = \angle B$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ (поскольку $CH$ — высота, $\angle CHA = 90^\circ$). Сумма острых углов в этом треугольнике равна $90^\circ$: $\angle HAC + \angle ACH = 90^\circ$. Так как $\angle HAC = \angle A$, то $\angle ACH = 90^\circ - \angle A$.

Из основного треугольника $ABC$ мы знаем, что сумма его острых углов также равна $90^\circ$: $\angle A + \angle B = 90^\circ$. Отсюда следует, что $\angle B = 90^\circ - \angle A$. Сравнивая выражения, получаем: $\angle ACH = \angle B$.

Угол $\angle HCM$ является разностью между углами $\angle MCA$ и $\angle ACH$ (в зависимости от того, какой из углов $\angle A$ или $\angle B$ больше, высота $CH$ будет лежать между медианой и одним из катетов). В общем виде это можно записать так: $\angle HCM = |\angle MCA - \angle ACH|$. Подставим найденные значения углов: $\angle HCM = |\angle A - \angle B|$.

По условию $\angle HCM = 20^\circ$, значит $|\angle A - \angle B| = 20^\circ$. Теперь у нас есть система двух линейных уравнений для нахождения острых углов $\angle A$ и $\angle B$: $ \begin{cases} \angle A + \angle B = 90^\circ \\ |\angle A - \angle B| = 20^\circ \end{cases} $

Чтобы найти больший из углов, решим эту систему. Пусть $\angle A$ — больший угол, тогда $\angle A > \angle B$ и второе уравнение примет вид $\angle A - \angle B = 20^\circ$. $ \begin{cases} \angle A + \angle B = 90^\circ \\ \angle A - \angle B = 20^\circ \end{cases} $ Сложим первое и второе уравнения: $(\angle A + \angle B) + (\angle A - \angle B) = 90^\circ + 20^\circ$ $2\angle A = 110^\circ$ $\angle A = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$

Меньший угол $\angle B$ можно найти из первого уравнения: $\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$. Острые углы треугольника равны $55^\circ$ и $35^\circ$. Больший из них — $55^\circ$.

Ответ: 55

17. Найдите высоту ромба, сторона которого равна 23, а острый угол равен 60°.

Пусть сторона ромба равна $a$, а его острый угол равен $\alpha$. Согласно условию задачи, мы имеем $a = 2\sqrt{3}$ и $\alpha = 60^\circ$.

Для нахождения высоты ромба $h$ можно рассмотреть прямоугольный треугольник, который образуется, если провести высоту из вершины ромба к его стороне. В этом треугольнике сторона ромба $a$ будет гипотенузой, а высота $h$ — катетом, лежащим напротив острого угла $\alpha$.

Связь между катетом, гипотенузой и противолежащим углом в прямоугольном треугольнике выражается через синус: $ \sin(\alpha) = \frac{h}{a} $

Из этой формулы мы можем выразить высоту $h$: $ h = a \cdot \sin(\alpha) $

Теперь подставим известные значения в полученную формулу. Нам известно, что $a = 2\sqrt{3}$ и $\alpha = 60^\circ$. Значение синуса $60^\circ$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Выполним вычисление: $ h = 2\sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $ $ h = \frac{2 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2} = \frac{2 \cdot 3}{2} = 3 $

Ответ: 3

18. Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. По условию задачи, длины оснований равны $BC = 4$ и $AD = 10$.

Пусть $MN$ — средняя линия трапеции, где $M$ — середина боковой стороны $AB$, а $N$ — середина боковой стороны $CD$. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям, то есть $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$.

Проведём диагональ $AC$, которая пересекает среднюю линию $MN$ в точке $P$. Диагональ делит трапецию на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Точка $M$ является серединой стороны $AB$. Отрезок $MP$ является частью средней линии $MN$, следовательно, $MP \parallel BC$. По свойству средней линии треугольника (отрезок, который выходит из середины одной стороны и параллелен второй стороне, является средней линией), $MP$ является средней линией треугольника $\triangle ABC$.

Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна. Таким образом, длина отрезка $MP$ равна половине длины основания $BC$:
$MP = \frac{1}{2} BC = \frac{4}{2} = 2$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Точка $N$ является серединой стороны $CD$. Отрезок $PN$ является частью средней линии $MN$, следовательно, $PN \parallel AD$. Аналогично предыдущему рассуждению, $PN$ является средней линией треугольника $\triangle ADC$.

Длина отрезка $PN$ равна половине длины основания $AD$:
$PN = \frac{1}{2} AD = \frac{10}{2} = 5$.

Таким образом, диагональ $AC$ делит среднюю линию $MN$ на два отрезка длиной $2$ и $5$.

Нам необходимо найти больший из этих отрезков. Сравнивая длины отрезков $MP=2$ и $PN=5$, получаем, что больший отрезок равен $5$.

Ответ: 5

19. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 18. Найдите её среднюю линию.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, а высота трапеции $h$ равна 18. Требуется найти среднюю линию $m$.

Средняя линия трапеции вычисляется по формуле: $m = \frac{AD + BC}{2}$.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Поскольку трапеция равнобедренная, её диагонали равны ($AC = BD$), а также равны отрезки диагоналей от точки пересечения до вершин соответствующих оснований ($AO = DO$ и $BO = CO$).

Так как $AC \perp BD$, то треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ являются прямоугольными. А поскольку $AO = DO$ и $BO = CO$, эти треугольники являются также и равнобедренными.

Проведем через точку $O$ высоту трапеции $PQ$, где точка $P$ лежит на основании $BC$, а точка $Q$ — на основании $AD$. Таким образом, $PQ = h = 18$. Высота $h$ состоит из двух отрезков: $h = OP + OQ$.

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник $\triangle BOC$. Отрезок $OP$ является его высотой, проведенной к гипотенузе $BC$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, $OP = \frac{BC}{2}$.

Аналогично, в равнобедренном прямоугольном треугольнике $\triangle AOD$ высота $OQ$, проведенная к гипотенузе $AD$, равна половине этой гипотенузы: $OQ = \frac{AD}{2}$.

Теперь мы можем выразить высоту трапеции через её основания: $h = OP + OQ = \frac{BC}{2} + \frac{AD}{2} = \frac{AD + BC}{2}$.

Таким образом, мы получили, что высота данной трапеции равна её средней линии: $h = m$.

По условию задачи высота $h = 18$, значит, и средняя линия $m$ равна 18.

Ответ: 18

20. Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

Пусть в окружности с центром в точке $O$ и радиусом $R$ проведена хорда $AB$. По условию задачи, длина этой хорды равна радиусу окружности, то есть $AB = R$.

Соединим концы хорды с центром окружности, получив треугольник $\triangle AOB$. В этом треугольнике стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами, следовательно, $OA = R$ и $OB = R$. Так как $AB = R$, то все стороны треугольника $\triangle AOB$ равны между собой: $OA = OB = AB = R$.

Треугольник, у которого все стороны равны, является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Таким образом, центральный угол $\angle AOB$, опирающийся на хорду $AB$, равен $60^\circ$.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Величина дуги равна величине соответствующего ей центрального угла. Значит, вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Пусть искомый острый вписанный угол будет $\angle ACB$. Он опирается на ту же хорду $AB$, что и центральный угол $\angle AOB$. Следовательно, его величина равна:

$\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$

Полученный угол $30^\circ$ является острым, что удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 30