Номер 10, страница 232 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

10. Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12, а синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, большее основание $AD = 12$, а меньшее основание $BC = 6$. Трапеция является равнобедренной, поэтому её боковые стороны равны ($AB = CD$), а углы при основаниях равны. Пусть $\angle A$ — острый угол при основании $AD$. По условию, синус этого угла равен $\sin(\angle A) = 0,8$.

Для решения задачи опустим из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на большее основание $AD$. Так как $BC \parallel AD$ и $BH \perp AD$, $CK \perp AD$, то четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником. Следовательно, $HK = BC = 6$.

Треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ являются прямоугольными. Они равны по гипотенузе ($AB = CD$) и катету ($BH = CK$ как высоты трапеции). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: $AH = KD$.

Длина большего основания $AD$ может быть представлена как сумма длин отрезков: $AD = AH + HK + KD$. Заменив $KD$ на $AH$ и подставив известные значения, получим:
$12 = AH + 6 + AH$
$12 = 2 \cdot AH + 6$
$2 \cdot AH = 12 - 6$
$2 \cdot AH = 6$
$AH = 3$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. Мы знаем длину катета $AH = 3$ и синус острого угла $\angle A$. Наша цель — найти длину гипотенузы $AB$, которая является боковой стороной трапеции.

В прямоугольном треугольнике косинус острого угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB}$. Чтобы воспользоваться этой формулой, сначала найдем значение $\cos(\angle A)$.

Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\angle A) + \cos^2(\angle A) = 1$.
$\cos^2(\angle A) = 1 - \sin^2(\angle A)$
$\cos^2(\angle A) = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$
Поскольку $\angle A$ — острый угол, его косинус положителен: $\cos(\angle A) = \sqrt{0,36} = 0,6$.

Теперь, зная $AH$ и $\cos(\angle A)$, мы можем вычислить длину боковой стороны $AB$:
$AB = \frac{AH}{\cos(\angle A)} = \frac{3}{0,6} = \frac{30}{6} = 5$.

Ответ: 5