Номер 16, страница 232 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

16. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 20°. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Пусть его острые углы равны $\angle A$ и $\angle B$. Из вершины $C$ на гипотенузу $AB$ проведены высота $CH$ и медиана $CM$. По условию задачи, угол между ними равен $20^\circ$, то есть $\angle HCM = 20^\circ$.

Рассмотрим свойства медианы, проведённой к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Длина этой медианы равна половине длины гипотенузы: $CM = AM = BM = \frac{1}{2}AB$.

Это означает, что треугольники $AMC$ и $BMC$ являются равнобедренными. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, в треугольнике $AMC$ имеем $\angle MCA = \angle MAC = \angle A$. Аналогично, в треугольнике $BMC$ имеем $\angle MCB = \angle MBC = \angle B$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ (поскольку $CH$ — высота, $\angle CHA = 90^\circ$). Сумма острых углов в этом треугольнике равна $90^\circ$: $\angle HAC + \angle ACH = 90^\circ$. Так как $\angle HAC = \angle A$, то $\angle ACH = 90^\circ - \angle A$.

Из основного треугольника $ABC$ мы знаем, что сумма его острых углов также равна $90^\circ$: $\angle A + \angle B = 90^\circ$. Отсюда следует, что $\angle B = 90^\circ - \angle A$. Сравнивая выражения, получаем: $\angle ACH = \angle B$.

Угол $\angle HCM$ является разностью между углами $\angle MCA$ и $\angle ACH$ (в зависимости от того, какой из углов $\angle A$ или $\angle B$ больше, высота $CH$ будет лежать между медианой и одним из катетов). В общем виде это можно записать так: $\angle HCM = |\angle MCA - \angle ACH|$. Подставим найденные значения углов: $\angle HCM = |\angle A - \angle B|$.

По условию $\angle HCM = 20^\circ$, значит $|\angle A - \angle B| = 20^\circ$. Теперь у нас есть система двух линейных уравнений для нахождения острых углов $\angle A$ и $\angle B$: $ \begin{cases} \angle A + \angle B = 90^\circ \\ |\angle A - \angle B| = 20^\circ \end{cases} $

Чтобы найти больший из углов, решим эту систему. Пусть $\angle A$ — больший угол, тогда $\angle A > \angle B$ и второе уравнение примет вид $\angle A - \angle B = 20^\circ$. $ \begin{cases} \angle A + \angle B = 90^\circ \\ \angle A - \angle B = 20^\circ \end{cases} $ Сложим первое и второе уравнения: $(\angle A + \angle B) + (\angle A - \angle B) = 90^\circ + 20^\circ$ $2\angle A = 110^\circ$ $\angle A = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$

Меньший угол $\angle B$ можно найти из первого уравнения: $\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$. Острые углы треугольника равны $55^\circ$ и $35^\circ$. Больший из них — $55^\circ$.

Ответ: 55