Номер 14, страница 232 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи для подготовки к ЕГЭ. 6 - номер 14, страница 232.

Условие.

14. Углы A и B треугольника ABC равны 58° и 72°, высоты AA₁ и BB₁ пересекаются в точке O. Найдите величину угла A₁OB₁. Ответ дайте в градусах.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

Для решения задачи сначала найдем величину угла $C$ в треугольнике $ABC$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180°$. Зная углы $A$ и $B$, получаем:

$?C = 180° - (?A + ?B) = 180° - (58° + 72°) = 180° - 130° = 50°$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $CA_1OB_1$. В нем $AA_1$ и $BB_1$ являются высотами треугольника $ABC$, опущенными на стороны $BC$ и $AC$ соответственно. По определению высоты, они перпендикулярны этим сторонам:

$AA_1 \perp BC \Rightarrow ?CA_1O = 90°$

$BB_1 \perp AC \Rightarrow ?CB_1O = 90°$

Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна $360°$. Для четырехугольника $CA_1OB_1$ это можно записать в виде уравнения:

$?C + ?CA_1O + ?A_1OB_1 + ?OB_1C = 360°$

Подставим известные значения углов в это равенство:

$50° + 90° + ?A_1OB_1 + 90° = 360°$

Теперь мы можем найти величину искомого угла $?A_1OB_1$:

$?A_1OB_1 = 360° - 50° - 90° - 90° = 360° - 230° = 130°$.

Ответ: 130