Страница 239 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

35. На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки K, L и M так, что AK : KB = 2 : 3, BL : LC = 1 : 2 и CM : MA = 3 : 1. В каком отношении точка пересечения отрезков KL и BM делит отрезок BM?

Для решения данной задачи воспользуемся методом векторов. Введем базисные векторы, отложенные от одной из вершин треугольника, например, от вершины B.

Пусть $\vec{BA} = \vec{a}$ и $\vec{BC} = \vec{c}$.

По условию задачи, на сторонах треугольника отмечены точки K, L, M. Выразим векторы, ведущие к этим точкам, через базисные векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$.

1. Точка K лежит на стороне AB и делит ее в отношении $AK:KB = 2:3$. Это значит, что $KB$ составляет 3 части из 5 частей отрезка AB. Следовательно, вектор $\vec{BK}$ составляет $\frac{3}{5}$ от вектора $\vec{BA}$.
$\vec{BK} = \frac{3}{5} \vec{BA} = \frac{3}{5} \vec{a}$.

2. Точка L лежит на стороне BC и делит ее в отношении $BL:LC = 1:2$. Это значит, что $BL$ составляет 1 часть из 3 частей отрезка BC. Следовательно, вектор $\vec{BL}$ составляет $\frac{1}{3}$ от вектора $\vec{BC}$.
$\vec{BL} = \frac{1}{3} \vec{BC} = \frac{1}{3} \vec{c}$.

3. Точка M лежит на стороне AC и делит ее в отношении $CM:MA = 3:1$. Чтобы выразить вектор $\vec{BM}$, воспользуемся правилом нахождения вектора, проведенного из вершины треугольника к точке на противоположной стороне. В треугольнике ABC точка M делит сторону AC.
$\vec{BM} = \frac{1}{3+1}\vec{BC} + \frac{3}{3+1}\vec{BA} = \frac{1}{4}\vec{c} + \frac{3}{4}\vec{a}$.

Пусть O — точка пересечения отрезков KL и BM. Поскольку точка O лежит на отрезке BM, вектор $\vec{BO}$ коллинеарен вектору $\vec{BM}$, а значит, его можно выразить как $\vec{BO} = \lambda \vec{BM}$ для некоторого скаляра $\lambda \in (0, 1)$.
$\vec{BO} = \lambda \left( \frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{c} \right) = \frac{3\lambda}{4}\vec{a} + \frac{\lambda}{4}\vec{c}$.
Отношение, в котором точка O делит отрезок BM, равно $BO:OM = \lambda : (1-\lambda)$. Нам нужно найти значение $\lambda$.

С другой стороны, точка O лежит на отрезке KL. Это означает, что вектор $\vec{BO}$ можно выразить как линейную комбинацию векторов $\vec{BK}$ и $\vec{BL}$:
$\vec{BO} = (1-\mu)\vec{BK} + \mu\vec{BL}$ для некоторого скаляра $\mu \in (0, 1)$.
Подставим выражения для $\vec{BK}$ и $\vec{BL}$:
$\vec{BO} = (1-\mu)\left(\frac{3}{5}\vec{a}\right) + \mu\left(\frac{1}{3}\vec{c}\right) = \frac{3(1-\mu)}{5}\vec{a} + \frac{\mu}{3}\vec{c}$.

Теперь у нас есть два разных выражения для одного и того же вектора $\vec{BO}$. Поскольку базисные векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ неколлинеарны (так как они представляют стороны треугольника), мы можем приравнять коэффициенты при них в обоих выражениях:

$\begin{cases} \frac{3\lambda}{4} = \frac{3(1-\mu)}{5} \\ \frac{\lambda}{4} = \frac{\mu}{3} \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $\mu$:
$\mu = \frac{3\lambda}{4}$.

Подставим это выражение для $\mu$ в первое уравнение:

$\frac{3\lambda}{4} = \frac{3\left(1 - \frac{3\lambda}{4}\right)}{5}$

Сократим на 3:

$\frac{\lambda}{4} = \frac{1 - \frac{3\lambda}{4}}{5}$

Умножим обе части на 20, чтобы избавиться от знаменателей:

$5\lambda = 4\left(1 - \frac{3\lambda}{4}\right)$

$5\lambda = 4 - 3\lambda$

$8\lambda = 4$

$\lambda = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Мы нашли, что $\lambda = \frac{1}{2}$. Это означает, что $\vec{BO} = \frac{1}{2}\vec{BM}$. Таким образом, точка O является серединой отрезка BM.

Следовательно, отношение, в котором точка O делит отрезок BM, составляет $BO:OM = \frac{1}{2} : \left(1-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} : \frac{1}{2} = 1:1$.

Ответ: 1:1.

36. Сторона треугольника равна 36. Прямая, параллельная этой стороне, разделяет треугольник на две равновеликие части. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого между сторонами треугольника.

Пусть дан треугольник $\triangle ABC$, в котором сторона $AC = 36$. Проведена прямая $MN$, параллельная стороне $AC$ ($M$ лежит на стороне $AB$, $N$ — на стороне $BC$), которая делит треугольник на две равновеликие части: малый треугольник $\triangle MBN$ и трапецию $AMNC$.

По условию, площади этих двух частей равны, то есть $S_{\triangle MBN} = S_{AMNC}$. Площадь всего треугольника $\triangle ABC$ равна сумме площадей его частей: $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle MBN} + S_{AMNC}$. Следовательно, $S_{\triangle ABC} = 2 \cdot S_{\triangle MBN}$, откуда получаем отношение площадей: $\frac{S_{\triangle MBN}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{1}{2}$.

Поскольку прямая $MN$ параллельна стороне $AC$, то треугольник $\triangle MBN$ подобен исходному треугольнику $\triangle ABC$ (по трём углам: $\angle B$ — общий, $\angle BMN = \angle BAC$ и $\angle BNM = \angle BCA$ как соответственные).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия $k$. Коэффициент подобия, в свою очередь, равен отношению длин соответственных сторон: $\frac{S_{\triangle MBN}}{S_{\triangle ABC}} = k^2 = \left(\frac{MN}{AC}\right)^2$.

Обозначим искомую длину отрезка $MN$ через $x$. Подставим известные значения в полученное соотношение: $\frac{1}{2} = \left(\frac{x}{36}\right)^2$.

Решим это уравнение, чтобы найти $x$. Извлекая квадратный корень из обеих частей (и учитывая, что длина отрезка должна быть положительной), получаем: $\frac{x}{36} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Отсюда $x = \frac{36}{\sqrt{2}}$. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$: $x = \frac{36 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{36\sqrt{2}}{2} = 18\sqrt{2}$.

Ответ: $18\sqrt{2}$.

37. Отрезки, соединяющие середины сторон выпуклого четырёхугольника, равны. Найдите площадь четырёхугольника, если его диагонали равны 8 и 12.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, и пусть $K, L, M, N$ — середины его сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно.

Согласно теореме Вариньона, четырехугольник $KLMN$, образованный соединением середин сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом. Его стороны параллельны диагоналям исходного четырехугольника, а их длины равны половинам длин этих диагоналей:
$KL \parallel AC$ и $LM \parallel BD$
$KL = \frac{1}{2}AC$ и $LM = \frac{1}{2}BD$

Отрезки, соединяющие середины сторон, о которых говорится в условии, — это диагонали параллелограмма Вариньона, то есть отрезки $KM$ и $LN$. По условию, эти отрезки равны: $KM = LN$.

Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. Следовательно, $KLMN$ — прямоугольник. Это означает, что его смежные стороны перпендикулярны, например, $KL \perp LM$.

Так как стороны параллелограмма Вариньона параллельны диагоналям исходного четырехугольника ($KL \parallel AC$ и $LM \parallel BD$), то из перпендикулярности сторон $KL$ и $LM$ следует перпендикулярность диагоналей $AC$ и $BD$. То есть, угол между диагоналями четырехугольника $ABCD$ равен $90^\circ$.

Площадь выпуклого четырехугольника можно найти по формуле, использующей длины его диагоналей $d_1$ и $d_2$ и синус угла $\alpha$ между ними:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$

По условию, диагонали четырехугольника равны $d_1 = 8$ и $d_2 = 12$. Поскольку мы установили, что диагонали перпендикулярны, угол $\alpha = 90^\circ$, а $\sin 90^\circ = 1$.

Подставим значения в формулу:
$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 = 4 \cdot 12 = 48$.

Ответ: 48.

38. В треугольнике ABC медиана AD и биссектриса BE перпендикулярны и пересекаются в точке F. Площадь треугольника DEF равна 5. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение

Рассмотрим треугольник $ABD$. По условию, $BE$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, поэтому отрезок $BF$ является биссектрисой угла $\angle ABD$. Также по условию медиана $AD$ перпендикулярна биссектрисе $BE$, что означает, что $BF$ является высотой в треугольнике $ABD$, проведенной к стороне $AD$.

Если в треугольнике биссектриса, проведенная из некоторой вершины, является и высотой, то этот треугольник — равнобедренный. Следовательно, треугольник $ABD$ является равнобедренным с основанием $AD$. Отсюда следует, что его боковые стороны равны: $AB = BD$. Кроме того, в равнобедренном треугольнике высота к основанию является также и медианой, поэтому точка $F$ — середина отрезка $AD$, то есть $AF = FD$.

По условию $AD$ — медиана треугольника $ABC$, а это значит, что точка $D$ является серединой стороны $BC$. Таким образом, $BD = DC$. Сопоставляя это с полученным ранее равенством $AB = BD$, имеем $AB = BD = DC$. Отсюда следует, что длина стороны $BC$ в два раза больше длины стороны $AB$: $BC = BD + DC = 2 \cdot AB$.

Применим свойство биссектрисы угла для биссектрисы $BE$ в треугольнике $ABC$. Биссектриса делит противолежащую сторону $AC$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $ \frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} $. Подставим в это соотношение найденное равенство $BC = 2 \cdot AB$: $ \frac{AE}{EC} = \frac{AB}{2 \cdot AB} = \frac{1}{2} $. Из этого соотношения следует, что $EC = 2 \cdot AE$, и вся сторона $AC$ выражается через $AE$ как $AC = AE + EC = AE + 2 \cdot AE = 3 \cdot AE$.

Теперь перейдем к вычислению площадей. По условию, площадь треугольника $DEF$ равна 5, то есть $S_{DEF} = 5$. Рассмотрим треугольник $ADE$. Поскольку $F$ — середина стороны $AD$, отрезок $EF$ является медианой треугольника $ADE$. Медиана делит треугольник на два треугольника с равными площадями. Следовательно: $ S_{AEF} = S_{DEF} = 5 $. Площадь треугольника $ADE$ равна сумме площадей этих двух треугольников: $ S_{ADE} = S_{AEF} + S_{DEF} = 5 + 5 = 10 $.

Далее найдем площадь всего треугольника $ABC$. Медиана $AD$ делит треугольник $ABC$ на два равновеликих треугольника: $S_{ABD} = S_{ADC}$. Следовательно, $S_{ABC} = 2 \cdot S_{ADC}$. Рассмотрим треугольники $ADE$ и $ADC$. У них общая высота, проведенная из вершины $D$ к прямой $AC$. Отношение их площадей равно отношению их оснований $AE$ и $AC$: $ \frac{S_{ADE}}{S_{ADC}} = \frac{AE}{AC} = \frac{AE}{3 \cdot AE} = \frac{1}{3} $. Отсюда можем выразить площадь треугольника $ADC$: $ S_{ADC} = 3 \cdot S_{ADE} = 3 \cdot 10 = 30 $. Наконец, находим площадь треугольника $ABC$: $ S_{ABC} = 2 \cdot S_{ADC} = 2 \cdot 30 = 60 $.

Ответ: 60.

39. Основания трапеции равны a и b. Прямая, параллельная основаниям, разбивает трапецию на две трапеции, площади которых относятся как 2 : 3. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого внутри трапеции.

Пусть дана трапеция с основаниями a и b. Прямая, параллельная основаниям, делит эту трапецию на две меньшие. Обозначим длину отрезка этой прямой, заключенного внутри трапеции, через x.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством площадей подобных фигур. Мысленно продолжим боковые стороны трапеции до их пересечения в точке P. В результате получатся три подобных треугольника, основаниями которых являются отрезки a, x и b.

Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров (в данном случае, оснований). Обозначим площади треугольников с основаниями a, x и b как $S_{?a}$, $S_{?x}$ и $S_{?b}$ соответственно. Тогда справедливо соотношение:

$\frac{S_{?a}}{a^2} = \frac{S_{?x}}{x^2} = \frac{S_{?b}}{b^2}$

Пусть этот коэффициент пропорциональности равен k. Тогда $S_{?a} = k \cdot a^2$, $S_{?x} = k \cdot x^2$, $S_{?b} = k \cdot b^2$.

Исходная трапеция разделена на две трапеции. Площадь первой трапеции (между основаниями a и x), обозначим её $S_1$, равна разности площадей треугольников: $S_1 = S_{?x} - S_{?a} = kx^2 - ka^2 = k(x^2 - a^2)$.

Площадь второй трапеции (между основаниями x и b), обозначим её $S_2$, также равна разности площадей: $S_2 = S_{?b} - S_{?x} = kb^2 - kx^2 = k(b^2 - x^2)$.

В условии сказано, что площади этих трапеций относятся как 2:3. Поскольку не указано, какая из трапеций соответствует какой части отношения (например, прилежащая к основанию a или к основанию b), необходимо рассмотреть два возможных случая.

Случай 1. Отношение площади трапеции, прилежащей к основанию a, к площади трапеции, прилежащей к основанию b, равно 2:3.

В этом случае имеем соотношение $\frac{S_1}{S_2} = \frac{2}{3}$. Подставим выражения для площадей:

$\frac{k(x^2 - a^2)}{k(b^2 - x^2)} = \frac{2}{3}$

Сократив k, получаем уравнение относительно x:

$3(x^2 - a^2) = 2(b^2 - x^2)$

$3x^2 - 3a^2 = 2b^2 - 2x^2$

$5x^2 = 3a^2 + 2b^2$

$x^2 = \frac{3a^2 + 2b^2}{5}$

Отсюда находим искомую длину отрезка x:

$x = \sqrt{\frac{3a^2 + 2b^2}{5}}$

Ответ: $x = \sqrt{\frac{3a^2 + 2b^2}{5}}$

Случай 2. Отношение площади трапеции, прилежащей к основанию a, к площади трапеции, прилежащей к основанию b, равно 3:2.

В этом случае соотношение будет обратным: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{3}{2}$.

$\frac{k(x^2 - a^2)}{k(b^2 - x^2)} = \frac{3}{2}$

Решаем соответствующее уравнение:

$2(x^2 - a^2) = 3(b^2 - x^2)$

$2x^2 - 2a^2 = 3b^2 - 3x^2$

$5x^2 = 2a^2 + 3b^2$

$x^2 = \frac{2a^2 + 3b^2}{5}$

И находим второе возможное значение для длины отрезка x:

$x = \sqrt{\frac{2a^2 + 3b^2}{5}}$

Ответ: $x = \sqrt{\frac{2a^2 + 3b^2}{5}}$

40. Окружность, построенная на стороне AC треугольника ABC как на диаметре, проходит через середину стороны BC и пересекает в точке D продолжение стороны AB за точку A, причём AD =$\frac{2}{3}$AB. Найдите площадь треугольника ABC, если AC = 1.

Пусть дана окружность, построенная на стороне $AC$ треугольника $ABC$ как на диаметре. Из условия известно, что $AC = 1$. Обозначим середину стороны $BC$ как точку $M$. По условию, точка $M$ лежит на этой окружности.

Поскольку $AC$ является диаметром окружности, а точка $M$ лежит на ней, то вписанный угол $\angle AMC$, опирающийся на диаметр, является прямым, то есть $\angle AMC = 90^\circ$. Таким образом, отрезок $AM$ является высотой в треугольнике $ABC$.

Также, по определению, отрезок $AM$ соединяет вершину $A$ с серединой противолежащей стороны $BC$, а значит, $AM$ — это медиана треугольника $ABC$.

Если в треугольнике медиана, проведенная к некоторой стороне, совпадает с высотой, опущенной на эту же сторону, то такой треугольник является равнобедренным. Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$, и его боковые стороны равны: $AB = AC$.

Так как по условию $AC = 1$, то и $AB = 1$.

Далее, по условию, окружность пересекает продолжение стороны $AB$ за точку $A$ в точке $D$. Это означает, что точка $D$ также лежит на окружности с диаметром $AC$. Следовательно, вписанный угол $\angle ADC$ также опирается на диаметр и равен $90^\circ$.

Из того, что $\angle ADC = 90^\circ$, следует, что отрезок $CD$ перпендикулярен прямой $AD$. Прямая $AD$ содержит сторону $AB$ треугольника. Значит, длина отрезка $CD$ является высотой треугольника $ABC$, опущенной из вершины $C$ на прямую, содержащую сторону $AB$.

В условии сказано, что $AD = \frac{2}{3}AB$. Используя найденное значение $AB=1$, получаем длину отрезка $AD$: $AD = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$. Применяя теорему Пифагора ($AC^2 = AD^2 + CD^2$), мы можем найти длину высоты $CD$:

$1^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 + CD^2$

$1 = \frac{4}{9} + CD^2$

$CD^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$CD = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Возьмём в качестве основания сторону $AB$, тогда высотой будет являться отрезок $CD$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD$

Подставляем известные значения $AB=1$ и $CD=\frac{\sqrt{5}}{3}$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{\sqrt{5}}{6}$

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{6}$

41. Найдите площадь трапеции с основаниями, равными 18 и 13, и боковыми сторонами, равными 3 и 4.

Для нахождения площади трапеции используется формула $S = \frac{a+b}{2} h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота трапеции. В данной задаче известны основания $a = 18$ и $b = 13$, а также боковые стороны $c = 3$ и $d = 4$. Необходимо найти высоту $h$.

Для нахождения высоты выполним дополнительное построение. Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC — основания, $AD = 18$, $BC = 13$, $AB = 3$, $CD = 4$. Проведём из вершины C прямую CE, параллельную боковой стороне AB, до пересечения с основанием AD в точке E. В результате получим параллелограмм ABCE и треугольник CDE.

В параллелограмме ABCE противоположные стороны равны, поэтому $AE = BC = 13$ и $CE = AB = 3$.

Длина отрезка ED на большем основании будет равна разности длин оснований трапеции: $ED = AD - AE = 18 - 13 = 5$.

Теперь рассмотрим треугольник CDE. Его стороны: $CE = 3$, $CD = 4$ и $ED = 5$. Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, используя теорему, обратную теореме Пифагора. Сравним квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон:

$ED^2 = 5^2 = 25$

$CE^2 + CD^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

Поскольку $CE^2 + CD^2 = ED^2$, треугольник CDE является прямоугольным, а его гипотенуза — сторона ED. Угол $\angle C$ в этом треугольнике прямой.

Высота трапеции $h$ равна высоте треугольника CDE, опущенной из вершины C на гипотенузу ED. Площадь прямоугольного треугольника CDE можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: $S_{CDE} = \frac{1}{2} \cdot CE \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$.

2. Через гипотенузу и высоту, проведенную к ней: $S_{CDE} = \frac{1}{2} \cdot ED \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot h$.

Приравняем оба выражения для площади, чтобы найти высоту $h$:

$\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot h = 6$

$5h = 12$

$h = \frac{12}{5} = 2.4$

Теперь, зная высоту, мы можем вычислить площадь трапеции:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{18+13}{2} \cdot 2.4 = \frac{31}{2} \cdot 2.4 = 15.5 \cdot 2.4 = 37.2$

Ответ: 37.2

42. На продолжении за точку B диаметра AB окружности отложен отрезок BC, равный диаметру. Прямая, проходящая через точку C, касается окружности в точке M. Найдите площадь треугольника ACM, если радиус окружности равен R.

Пусть O — центр окружности. По условию, AB — диаметр окружности, следовательно, его длина $AB = 2R$, а отрезки, являющиеся радиусами, $OA = OB = R$.Точка C лежит на продолжении диаметра AB за точку B, и отрезок BC равен диаметру, то есть $BC = 2R$.Таким образом, точки A, O, B, C лежат на одной прямой в указанном порядке.

Найдем длину отрезка AC, который мы можем рассматривать как основание треугольника ACM.$AC = AB + BC = 2R + 2R = 4R$.

Площадь треугольника ACM можно найти по формуле $S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h$, где $h$ — высота, проведенная из вершины M к основанию AC. Обозначим эту высоту как MH, где H — основание перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую AC.

Рассмотрим треугольник OMC. Так как прямая CM является касательной к окружности в точке M, радиус OM, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной CM. Следовательно, треугольник OMC является прямоугольным с прямым углом при вершине M ($\angle OMC = 90^\circ$).

Найдем длины сторон этого прямоугольного треугольника:

• Катет OM — это радиус окружности, поэтому $OM = R$.
• Гипотенуза OC — это расстояние от центра окружности O до точки C. Оно равно сумме длин отрезков OB и BC: $OC = OB + BC = R + 2R = 3R$.

Высота MH треугольника ACM является также высотой прямоугольного треугольника OMC, проведенной из вершины прямого угла M к гипотенузе OC. Площадь треугольника OMC можно выразить двумя способами: через произведение катетов и через произведение гипотенузы на высоту к ней.

Сначала найдем длину катета CM по теореме Пифагора для треугольника OMC:
$OC^2 = OM^2 + CM^2$
$(3R)^2 = R^2 + CM^2$
$9R^2 = R^2 + CM^2$
$CM^2 = 8R^2 \implies CM = \sqrt{8R^2} = 2\sqrt{2}R$.

Площадь треугольника OMC, вычисленная через катеты:
$S_{OMC} = \frac{1}{2} \cdot OM \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot R \cdot (2\sqrt{2}R) = \sqrt{2}R^2$.

Та же площадь, выраженная через гипотенузу и высоту к ней:
$S_{OMC} = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot MH$.

Приравняем два выражения для площади, чтобы найти высоту MH:
$\frac{1}{2} \cdot OC \cdot MH = \sqrt{2}R^2$
$\frac{1}{2} \cdot (3R) \cdot MH = \sqrt{2}R^2$
$MH = \frac{2\sqrt{2}R^2}{3R} = \frac{2\sqrt{2}}{3}R$.

Теперь, зная высоту MH, мы можем найти площадь искомого треугольника ACM:
$S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot (4R) \cdot \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}R\right)$
$S_{ACM} = 2R \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}R = \frac{4\sqrt{2}}{3}R^2$.

Ответ: $ \frac{4\sqrt{2}}{3}R^2 $

43. Медиана AM и биссектриса CD треугольника ABC с прямым углом B пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника ABC, если CO = 9 и OD = 5.

Решение:

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором $\angle B = 90^\circ$. $AM$ — медиана, проведенная к стороне $BC$, следовательно, $M$ — середина $BC$, и $BM = MC$. $CD$ — биссектриса угла $C$, поэтому она делит противолежащую сторону $AB$ в отношении, равном отношению прилежащих сторон. Медиана $AM$ и биссектриса $CD$ пересекаются в точке $O$. По условию $CO=9$ и $OD=5$.

1. Найдем отношение, в котором точка D делит сторону AB.

Рассмотрим треугольник $BDC$ и секущую $AOM$. Точки $A, O, M$ лежат на одной прямой. Точка $M$ лежит на стороне $BC$, точка $O$ — на стороне $CD$, а точка $A$ — на продолжении стороны $BD$ за точку $D$.

По теореме Менелая для треугольника $BDC$ и секущей $AOM$ имеем:

$\frac{BM}{MC} \cdot \frac{CO}{OD} \cdot \frac{DA}{AB} = 1$

Подставим известные значения:

• Поскольку $AM$ — медиана, $M$ — середина $BC$, поэтому $BM = MC$ и $\frac{BM}{MC} = 1$.
• По условию $\frac{CO}{OD} = \frac{9}{5}$.

Получаем уравнение:

$1 \cdot \frac{9}{5} \cdot \frac{DA}{AB} = 1$

Отсюда находим отношение $\frac{DA}{AB} = \frac{5}{9}$.

Точка $D$ лежит на стороне $AB$, поэтому $AB = AD + DB$. Так как $AD = \frac{5}{9} AB$, то $DB = AB - AD = AB - \frac{5}{9} AB = \frac{4}{9} AB$.

Тогда отношение отрезков, на которые биссектриса делит сторону $AB$, равно:

$\frac{AD}{DB} = \frac{\frac{5}{9} AB}{\frac{4}{9} AB} = \frac{5}{4}$.

2. Найдем соотношение сторон треугольника.

По свойству биссектрисы $CD$ в треугольнике $ABC$:

$\frac{AC}{BC} = \frac{AD}{DB}$

Следовательно, $\frac{AC}{BC} = \frac{5}{4}$.

Пусть $AC = 5x$ и $BC = 4x$ для некоторого $x > 0$.

Так как треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом $B$, по теореме Пифагора:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$(5x)^2 = AB^2 + (4x)^2$

$25x^2 = AB^2 + 16x^2$

$AB^2 = 9x^2 \implies AB = 3x$.

Таким образом, стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4, 5: $AB=3x, BC=4x, AC=5x$.

3. Найдем значение $x$ и площадь треугольника.

Воспользуемся формулой для длины биссектрисы угла треугольника: $l_c^2 = AC \cdot BC - AD \cdot DB$.

Длина биссектрисы $CD = CO + OD = 9 + 5 = 14$.

$AD = \frac{5}{9} AB = \frac{5}{9}(3x) = \frac{5x}{3}$.

$DB = \frac{4}{9} AB = \frac{4}{9}(3x) = \frac{4x}{3}$.

Подставляем все значения в формулу:

$14^2 = (5x)(4x) - (\frac{5x}{3})(\frac{4x}{3})$

$196 = 20x^2 - \frac{20x^2}{9}$

$196 = \frac{180x^2 - 20x^2}{9}$

$196 = \frac{160x^2}{9}$

$x^2 = \frac{196 \cdot 9}{160} = \frac{49 \cdot 4 \cdot 9}{40 \cdot 4} = \frac{441}{40}$.

Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ вычисляется по формуле:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} (3x)(4x) = 6x^2$

Подставим найденное значение $x^2$:

$S_{ABC} = 6 \cdot \frac{441}{40} = \frac{3 \cdot 441}{20} = \frac{1323}{20} = 66,15$.

Ответ: $66,15$.