Номер 42, страница 239 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

42. На продолжении за точку B диаметра AB окружности отложен отрезок BC, равный диаметру. Прямая, проходящая через точку C, касается окружности в точке M. Найдите площадь треугольника ACM, если радиус окружности равен R.

Пусть O — центр окружности. По условию, AB — диаметр окружности, следовательно, его длина $AB = 2R$, а отрезки, являющиеся радиусами, $OA = OB = R$.Точка C лежит на продолжении диаметра AB за точку B, и отрезок BC равен диаметру, то есть $BC = 2R$.Таким образом, точки A, O, B, C лежат на одной прямой в указанном порядке.

Найдем длину отрезка AC, который мы можем рассматривать как основание треугольника ACM.$AC = AB + BC = 2R + 2R = 4R$.

Площадь треугольника ACM можно найти по формуле $S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h$, где $h$ — высота, проведенная из вершины M к основанию AC. Обозначим эту высоту как MH, где H — основание перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую AC.

Рассмотрим треугольник OMC. Так как прямая CM является касательной к окружности в точке M, радиус OM, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной CM. Следовательно, треугольник OMC является прямоугольным с прямым углом при вершине M ($\angle OMC = 90^\circ$).

Найдем длины сторон этого прямоугольного треугольника:

• Катет OM — это радиус окружности, поэтому $OM = R$.
• Гипотенуза OC — это расстояние от центра окружности O до точки C. Оно равно сумме длин отрезков OB и BC: $OC = OB + BC = R + 2R = 3R$.

Высота MH треугольника ACM является также высотой прямоугольного треугольника OMC, проведенной из вершины прямого угла M к гипотенузе OC. Площадь треугольника OMC можно выразить двумя способами: через произведение катетов и через произведение гипотенузы на высоту к ней.

Сначала найдем длину катета CM по теореме Пифагора для треугольника OMC:
$OC^2 = OM^2 + CM^2$
$(3R)^2 = R^2 + CM^2$
$9R^2 = R^2 + CM^2$
$CM^2 = 8R^2 \implies CM = \sqrt{8R^2} = 2\sqrt{2}R$.

Площадь треугольника OMC, вычисленная через катеты:
$S_{OMC} = \frac{1}{2} \cdot OM \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot R \cdot (2\sqrt{2}R) = \sqrt{2}R^2$.

Та же площадь, выраженная через гипотенузу и высоту к ней:
$S_{OMC} = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot MH$.

Приравняем два выражения для площади, чтобы найти высоту MH:
$\frac{1}{2} \cdot OC \cdot MH = \sqrt{2}R^2$
$\frac{1}{2} \cdot (3R) \cdot MH = \sqrt{2}R^2$
$MH = \frac{2\sqrt{2}R^2}{3R} = \frac{2\sqrt{2}}{3}R$.

Теперь, зная высоту MH, мы можем найти площадь искомого треугольника ACM:
$S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot (4R) \cdot \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}R\right)$
$S_{ACM} = 2R \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}R = \frac{4\sqrt{2}}{3}R^2$.

Ответ: $ \frac{4\sqrt{2}}{3}R^2 $