Номер 43, страница 239 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

43. Медиана AM и биссектриса CD треугольника ABC с прямым углом B пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника ABC, если CO = 9 и OD = 5.

Решение:

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором $\angle B = 90^\circ$. $AM$ — медиана, проведенная к стороне $BC$, следовательно, $M$ — середина $BC$, и $BM = MC$. $CD$ — биссектриса угла $C$, поэтому она делит противолежащую сторону $AB$ в отношении, равном отношению прилежащих сторон. Медиана $AM$ и биссектриса $CD$ пересекаются в точке $O$. По условию $CO=9$ и $OD=5$.

1. Найдем отношение, в котором точка D делит сторону AB.

Рассмотрим треугольник $BDC$ и секущую $AOM$. Точки $A, O, M$ лежат на одной прямой. Точка $M$ лежит на стороне $BC$, точка $O$ — на стороне $CD$, а точка $A$ — на продолжении стороны $BD$ за точку $D$.

По теореме Менелая для треугольника $BDC$ и секущей $AOM$ имеем:

$\frac{BM}{MC} \cdot \frac{CO}{OD} \cdot \frac{DA}{AB} = 1$

Подставим известные значения:

• Поскольку $AM$ — медиана, $M$ — середина $BC$, поэтому $BM = MC$ и $\frac{BM}{MC} = 1$.
• По условию $\frac{CO}{OD} = \frac{9}{5}$.

Получаем уравнение:

$1 \cdot \frac{9}{5} \cdot \frac{DA}{AB} = 1$

Отсюда находим отношение $\frac{DA}{AB} = \frac{5}{9}$.

Точка $D$ лежит на стороне $AB$, поэтому $AB = AD + DB$. Так как $AD = \frac{5}{9} AB$, то $DB = AB - AD = AB - \frac{5}{9} AB = \frac{4}{9} AB$.

Тогда отношение отрезков, на которые биссектриса делит сторону $AB$, равно:

$\frac{AD}{DB} = \frac{\frac{5}{9} AB}{\frac{4}{9} AB} = \frac{5}{4}$.

2. Найдем соотношение сторон треугольника.

По свойству биссектрисы $CD$ в треугольнике $ABC$:

$\frac{AC}{BC} = \frac{AD}{DB}$

Следовательно, $\frac{AC}{BC} = \frac{5}{4}$.

Пусть $AC = 5x$ и $BC = 4x$ для некоторого $x > 0$.

Так как треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом $B$, по теореме Пифагора:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$(5x)^2 = AB^2 + (4x)^2$

$25x^2 = AB^2 + 16x^2$

$AB^2 = 9x^2 \implies AB = 3x$.

Таким образом, стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4, 5: $AB=3x, BC=4x, AC=5x$.

3. Найдем значение $x$ и площадь треугольника.

Воспользуемся формулой для длины биссектрисы угла треугольника: $l_c^2 = AC \cdot BC - AD \cdot DB$.

Длина биссектрисы $CD = CO + OD = 9 + 5 = 14$.

$AD = \frac{5}{9} AB = \frac{5}{9}(3x) = \frac{5x}{3}$.

$DB = \frac{4}{9} AB = \frac{4}{9}(3x) = \frac{4x}{3}$.

Подставляем все значения в формулу:

$14^2 = (5x)(4x) - (\frac{5x}{3})(\frac{4x}{3})$

$196 = 20x^2 - \frac{20x^2}{9}$

$196 = \frac{180x^2 - 20x^2}{9}$

$196 = \frac{160x^2}{9}$

$x^2 = \frac{196 \cdot 9}{160} = \frac{49 \cdot 4 \cdot 9}{40 \cdot 4} = \frac{441}{40}$.

Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ вычисляется по формуле:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} (3x)(4x) = 6x^2$

Подставим найденное значение $x^2$:

$S_{ABC} = 6 \cdot \frac{441}{40} = \frac{3 \cdot 441}{20} = \frac{1323}{20} = 66,15$.

Ответ: $66,15$.