Номер 39, страница 239 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

39. Основания трапеции равны a и b. Прямая, параллельная основаниям, разбивает трапецию на две трапеции, площади которых относятся как 2 : 3. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого внутри трапеции.

Пусть дана трапеция с основаниями a и b. Прямая, параллельная основаниям, делит эту трапецию на две меньшие. Обозначим длину отрезка этой прямой, заключенного внутри трапеции, через x.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством площадей подобных фигур. Мысленно продолжим боковые стороны трапеции до их пересечения в точке P. В результате получатся три подобных треугольника, основаниями которых являются отрезки a, x и b.

Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров (в данном случае, оснований). Обозначим площади треугольников с основаниями a, x и b как $S_{?a}$, $S_{?x}$ и $S_{?b}$ соответственно. Тогда справедливо соотношение:

$\frac{S_{?a}}{a^2} = \frac{S_{?x}}{x^2} = \frac{S_{?b}}{b^2}$

Пусть этот коэффициент пропорциональности равен k. Тогда $S_{?a} = k \cdot a^2$, $S_{?x} = k \cdot x^2$, $S_{?b} = k \cdot b^2$.

Исходная трапеция разделена на две трапеции. Площадь первой трапеции (между основаниями a и x), обозначим её $S_1$, равна разности площадей треугольников: $S_1 = S_{?x} - S_{?a} = kx^2 - ka^2 = k(x^2 - a^2)$.

Площадь второй трапеции (между основаниями x и b), обозначим её $S_2$, также равна разности площадей: $S_2 = S_{?b} - S_{?x} = kb^2 - kx^2 = k(b^2 - x^2)$.

В условии сказано, что площади этих трапеций относятся как 2:3. Поскольку не указано, какая из трапеций соответствует какой части отношения (например, прилежащая к основанию a или к основанию b), необходимо рассмотреть два возможных случая.

Случай 1. Отношение площади трапеции, прилежащей к основанию a, к площади трапеции, прилежащей к основанию b, равно 2:3.

В этом случае имеем соотношение $\frac{S_1}{S_2} = \frac{2}{3}$. Подставим выражения для площадей:

$\frac{k(x^2 - a^2)}{k(b^2 - x^2)} = \frac{2}{3}$

Сократив k, получаем уравнение относительно x:

$3(x^2 - a^2) = 2(b^2 - x^2)$

$3x^2 - 3a^2 = 2b^2 - 2x^2$

$5x^2 = 3a^2 + 2b^2$

$x^2 = \frac{3a^2 + 2b^2}{5}$

Отсюда находим искомую длину отрезка x:

$x = \sqrt{\frac{3a^2 + 2b^2}{5}}$

Ответ: $x = \sqrt{\frac{3a^2 + 2b^2}{5}}$

Случай 2. Отношение площади трапеции, прилежащей к основанию a, к площади трапеции, прилежащей к основанию b, равно 3:2.

В этом случае соотношение будет обратным: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{3}{2}$.

$\frac{k(x^2 - a^2)}{k(b^2 - x^2)} = \frac{3}{2}$

Решаем соответствующее уравнение:

$2(x^2 - a^2) = 3(b^2 - x^2)$

$2x^2 - 2a^2 = 3b^2 - 3x^2$

$5x^2 = 2a^2 + 3b^2$

$x^2 = \frac{2a^2 + 3b^2}{5}$

И находим второе возможное значение для длины отрезка x:

$x = \sqrt{\frac{2a^2 + 3b^2}{5}}$

Ответ: $x = \sqrt{\frac{2a^2 + 3b^2}{5}}$