Номер 2, страница 240 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи с практическим содержанием - номер 2, страница 240.

Условие.

2. Ученик изобразил тетраэдр, в котором проведено сечение (рис. 240). Правилен ли его чертёж?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

Для анализа правильности чертежа воспользуемся основными положениями стереометрии, касающимися построения сечений многогранников плоскостью. Обозначим вершины тетраэдра как D (верхняя вершина) и A, B, C (вершины основания). Секущая плоскость, назовем ее $\pi$, пересекает четыре ребра тетраэдра, и в результате сечения получается четырехугольник. Обозначим вершины этого четырехугольника P, Q, R, S.

Исходя из изображения, точки пересечения секущей плоскости с ребрами тетраэдра расположены следующим образом: точка P находится на ребре DA, точка Q — на ребре DB, точка R — на ребре BC, и точка S — на ребре AC. Таким образом, четырехугольник PQRS является фигурой сечения. Его стороны представляют собой линии пересечения секущей плоскости $\pi$ с гранями тетраэдра.

Рассмотрим пару противоположных сторон сечения — PQ и SR. Обе эти стороны, являясь сторонами сечения, лежат в одной секущей плоскости $\pi$. Кроме того, каждая из этих сторон лежит в одной из плоскостей граней тетраэдра:

Сторона PQ, соединяющая точки на ребрах DA и DB, целиком лежит в плоскости грани DAB.

Сторона SR, соединяющая точки на ребрах AC и BC, целиком лежит в плоскости основания ABC.

Плоскости граней DAB и ABC не параллельны, они пересекаются по прямой, содержащей ребро AB. Существует фундаментальная теорема стереометрии: если некая плоскость (в данном случае секущая плоскость $\pi$) пересекает две пересекающиеся плоскости (в нашем случае плоскости граней DAB и ABC), то линии пересечения (в нашем случае прямые PQ и SR) либо параллельны, либо пересекаются в точке, которая обязательно лежит на линии пересечения этих двух плоскостей (то есть на прямой AB).

Теперь проанализируем сам чертеж (рис. 240). Прямые PQ и SR изображены как непараллельные. Это означает, что они должны пересекаться. Согласно теореме, точка их пересечения должна лежать на прямой AB. Однако на чертеже эти прямые изображены как скрещивающиеся. Прямая PQ расположена «сзади» и «выше» прямой SR. В трехмерном пространстве они не имеют общих точек. Но две прямые (PQ и SR), лежащие в одной и той же плоскости $\pi$, не могут быть скрещивающимися — они могут быть либо параллельными, либо пересекающимися. Возникает противоречие.

Следовательно, данное построение сечения является геометрически неверным.

Ответ: Чертеж неправилен.