Номер 41, страница 239 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

41. Найдите площадь трапеции с основаниями, равными 18 и 13, и боковыми сторонами, равными 3 и 4.

Для нахождения площади трапеции используется формула $S = \frac{a+b}{2} h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота трапеции. В данной задаче известны основания $a = 18$ и $b = 13$, а также боковые стороны $c = 3$ и $d = 4$. Необходимо найти высоту $h$.

Для нахождения высоты выполним дополнительное построение. Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC — основания, $AD = 18$, $BC = 13$, $AB = 3$, $CD = 4$. Проведём из вершины C прямую CE, параллельную боковой стороне AB, до пересечения с основанием AD в точке E. В результате получим параллелограмм ABCE и треугольник CDE.

В параллелограмме ABCE противоположные стороны равны, поэтому $AE = BC = 13$ и $CE = AB = 3$.

Длина отрезка ED на большем основании будет равна разности длин оснований трапеции: $ED = AD - AE = 18 - 13 = 5$.

Теперь рассмотрим треугольник CDE. Его стороны: $CE = 3$, $CD = 4$ и $ED = 5$. Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, используя теорему, обратную теореме Пифагора. Сравним квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон:

$ED^2 = 5^2 = 25$

$CE^2 + CD^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

Поскольку $CE^2 + CD^2 = ED^2$, треугольник CDE является прямоугольным, а его гипотенуза — сторона ED. Угол $\angle C$ в этом треугольнике прямой.

Высота трапеции $h$ равна высоте треугольника CDE, опущенной из вершины C на гипотенузу ED. Площадь прямоугольного треугольника CDE можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: $S_{CDE} = \frac{1}{2} \cdot CE \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$.

2. Через гипотенузу и высоту, проведенную к ней: $S_{CDE} = \frac{1}{2} \cdot ED \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot h$.

Приравняем оба выражения для площади, чтобы найти высоту $h$:

$\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot h = 6$

$5h = 12$

$h = \frac{12}{5} = 2.4$

Теперь, зная высоту, мы можем вычислить площадь трапеции:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{18+13}{2} \cdot 2.4 = \frac{31}{2} \cdot 2.4 = 15.5 \cdot 2.4 = 37.2$

Ответ: 37.2