Страница 233 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

21. Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 54°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

По свойству четырёхугольника, вписанного в окружность, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. В четырёхугольнике $ABCD$ углы $A$ и $C$ являются противоположными.

Следовательно, их сумма вычисляется по формуле:
$\angle A + \angle C = 180^\circ$

По условию задачи, угол $A$ равен $54^\circ$. Подставим это значение в формулу, чтобы найти угол $C$:
$54^\circ + \angle C = 180^\circ$

Выразим $\angle C$ из данного уравнения:
$\angle C = 180^\circ - 54^\circ$
$\angle C = 126^\circ$

Ответ: 126.

22. Сторона правильного треугольника равна 3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Для нахождения радиуса $r$ окружности, вписанной в правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$, существует несколько способов.

Способ 1: Использование формулы радиуса через сторону

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, связан с его стороной $a$ следующей формулой: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

По условию задачи, сторона треугольника равна $a = \sqrt{3}$. Подставим это значение в формулу: $r = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$

Сократив дробь на $\sqrt{3}$, получим: $r = \frac{1}{2} = 0,5$

Способ 2: Использование высоты треугольника

Сначала найдем высоту $h$ правильного треугольника. Формула для высоты: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставим значение стороны $a = \sqrt{3}$: $h = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$

В правильном треугольнике центр вписанной окружности является точкой пересечения его высот, медиан и биссектрис. Эта точка делит высоту в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус вписанной окружности равен меньшему отрезку, то есть составляет одну треть от всей высоты: $r = \frac{1}{3}h$

Подставим найденное значение высоты: $r = \frac{1}{3} \cdot 1,5 = \frac{1,5}{3} = 0,5$

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: 0,5

23. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной 3.

Для нахождения радиуса окружности, вписанной в правильный шестиугольник, можно использовать несколько подходов.

Способ 1: Использование общей формулы

Радиус $r$ окружности, вписанной в правильный n-угольник со стороной $a$, определяется по формуле:

$r = \frac{a}{2 \tan(\frac{180^\circ}{n})}$

Для правильного шестиугольника число сторон $n=6$, а длина стороны по условию задачи $a = \sqrt{3}$. Подставляем эти значения в формулу:

$r = \frac{\sqrt{3}}{2 \tan(\frac{180^\circ}{6})} = \frac{\sqrt{3}}{2 \tan(30^\circ)}$

Значение тангенса 30° равно $\frac{1}{\sqrt{3}}$ или $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Подставим это значение:

$r = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$

Способ 2: Через свойства правильного шестиугольника

Правильный шестиугольник состоит из шести равных равносторонних треугольников, сходящихся вершинами в центре шестиугольника. Сторона каждого такого треугольника равна стороне шестиугольника, то есть $a = \sqrt{3}$.

Радиус вписанной окружности $r$ в данном случае является высотой одного из этих равносторонних треугольников. Высоту $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ можно найти по теореме Пифагора. Она делит основание пополам, образуя два прямоугольных треугольника с гипотенузой $a$ и катетами $h$ и $\frac{a}{2}$.

$h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2$

$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$

$h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Поскольку $r = h$, подставим значение стороны $a = \sqrt{3}$:

$r = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$

Ответ: 1,5

24. Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Найдите угол BOC, если угол BAC равен 23°.

Угол $\angle BAC$ является вписанным углом в окружность, так как его вершина $A$ лежит на окружности, а стороны $AB$ и $AC$ являются хордами.

Угол $\angle BOC$ является центральным углом, так как его вершина $O$ совпадает с центром окружности, а стороны $OB$ и $OC$ являются радиусами.

Оба угла, вписанный $\angle BAC$ и центральный $\angle BOC$, опираются на одну и ту же дугу $BC$.

Согласно теореме о центральных и вписанных углах, градусная мера центрального угла в два раза больше градусной меры вписанного угла, который опирается на ту же самую дугу.

Следовательно, мы можем записать соотношение:

$\angle BOC = 2 \cdot \angle BAC$

По условию задачи, $\angle BAC = 23^{\circ}$. Подставим это значение в формулу:

$\angle BOC = 2 \cdot 23^{\circ} = 46^{\circ}$

Ответ: $46^{\circ}$

25. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 6. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.

Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности используется формула $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — это площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Найдем периметр и полупериметр треугольника. По условию, боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, а основание равно 6. Периметр $P$ равен сумме всех сторон: $P = 5 + 5 + 6 = 16$. Полупериметр $p$ — это половина периметра: $p = \frac{P}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

2. Найдем площадь треугольника. Для этого проведем высоту $h$ к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, то есть делит основание пополам. Получаем два отрезка по $6 / 2 = 3$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза), высотой и половиной основания (катеты). По теореме Пифагора найдем высоту $h$: $h^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$. $h = \sqrt{16} = 4$. Теперь вычислим площадь треугольника $S$ по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$.

3. Найдем радиус вписанной окружности. Подставим найденные значения площади $S = 12$ и полупериметра $p = 8$ в формулу для радиуса: $r = \frac{S}{p} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5$.

Ответ: 1,5

1. Найдите квадрат расстояния между вершинами D и B₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого AB = 3, AD = 8 и AA₁ = 5.

Для нахождения квадрата расстояния между вершинами $D$ и $B_1$ прямоугольного параллелепипеда, необходимо найти квадрат длины отрезка $DB_1$. Отрезок $DB_1$ является пространственной диагональю данного параллелепипеда.

Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты). Обозначим измерения как $a$, $b$ и $c$, а квадрат диагонали как $d^2$. Формула имеет вид:$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

В нашей задаче измерениями параллелепипеда являются длины его ребер, выходящих из одной вершины, например, $AB$, $AD$ и $AA_1$. По условию:

• Длина: $AB = 3$
• Ширина: $AD = 8$
• Высота: $AA_1 = 5$

Подставим эти значения в формулу для квадрата диагонали $DB_1$:$DB_1^2 = AB^2 + AD^2 + AA_1^2$

Выполним вычисления:$DB_1^2 = 3^2 + 8^2 + 5^2$$DB_1^2 = 9 + 64 + 25$$DB_1^2 = 73 + 25$$DB_1^2 = 98$

Этот же результат можно получить, последовательно применив теорему Пифагора. Сначала для диагонали основания $DB$ в прямоугольном треугольнике $\triangle DAB$:$DB^2 = DA^2 + AB^2 = 8^2 + 3^2 = 64 + 9 = 73$Затем для пространственной диагонали $DB_1$ в прямоугольном треугольнике $\triangle DBB_1$ (где катет $BB_1 = AA_1 = 5$):$DB_1^2 = DB^2 + BB_1^2 = 73 + 5^2 = 73 + 25 = 98$

Ответ: 98

2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны рёбра: AB = 5, AD = 4, AA₁ = 4. Найдите угол C₁BC. Ответ дайте в градусах .

Для нахождения угла $\angle C_1BC$ рассмотрим треугольник $\triangle C_1BC$.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — это прямоугольный параллелепипед, все его грани являются прямоугольниками. В частности, грань $BCC_1B_1$ — это прямоугольник. Следовательно, угол $\angle BCC_1$ является прямым, то есть $\angle BCC_1 = 90^\circ$.

Это означает, что треугольник $\triangle C_1BC$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $C$. Стороны $BC$ и $CC_1$ являются его катетами, а $C_1B$ — гипотенузой.

Найдем длины катетов этого треугольника из данных задачи:

• Катет $BC$ равен ребру $AD$, так как $ABCD$ — прямоугольник. По условию $AD = 4$, следовательно, $BC = 4$.
• Катет $CC_1$ равен ребру $AA_1$, так как это высота параллелепипеда. По условию $AA_1 = 4$, следовательно, $CC_1 = 4$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle C_1BC$ тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. Для угла $\angle C_1BC$:

$\tan(\angle C_1BC) = \frac{CC_1}{BC}$

Подставим известные значения:

$\tan(\angle C_1BC) = \frac{4}{4} = 1$

Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$. Таким образом, $\angle C_1BC = 45^\circ$.

Альтернативный способ: так как в прямоугольном треугольнике $\triangle C_1BC$ катеты равны ($BC = CC_1 = 4$), то он является равнобедренным. В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны и составляют по $45^\circ$.

Ответ: 45

3. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S точка R — середина ребра BC. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если AB = 1, SR = 2.

По условию задачи, дана правильная треугольная пирамида $SABC$. Это означает, что ее основание $ABC$ является равносторонним треугольником, а все боковые грани ($SAB$, $SBC$ и $SCA$) — равные между собой равнобедренные треугольники.

Площадь боковой поверхности пирамиды ($S_{бок}$) — это сумма площадей всех ее боковых граней. Так как все боковые грани равны, то площадь боковой поверхности можно найти, умножив площадь одной грани на их количество, то есть на 3:

$S_{бок} = 3 \cdot S_{SBC}$

Рассмотрим боковую грань $SBC$. Это равнобедренный треугольник с основанием $BC$. Точка $R$ является серединой стороны $BC$. Следовательно, отрезок $SR$ — это медиана треугольника $SBC$, проведенная к основанию. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является его высотой. Таким образом, $SR$ — это высота треугольника $SBC$. В правильной пирамиде высота боковой грани называется апофемой.

Площадь треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

Для треугольника $SBC$ имеем:

• Основание $BC$. Так как основание пирамиды $ABC$ — равносторонний треугольник, то $BC = AB = 1$.
• Высота (апофема) $SR$. По условию, $SR = 2$.

Теперь можем вычислить площадь грани $SBC$:

$S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SR = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$

Наконец, находим площадь боковой поверхности всей пирамиды:

$S_{бок} = 3 \cdot S_{SBC} = 3 \cdot 1 = 3$

Ответ: 3

4. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Объём пирамиды равен 1. Найдите площадь треугольника ABC, если MS = 1.

Поскольку пирамида $SABC$ является правильной, в её основании лежит правильный (равносторонний) треугольник $ABC$, а вершина $S$ проецируется в центр этого треугольника.

Точка $M$ по условию является точкой пересечения медиан основания $ABC$. В равностороннем треугольнике точка пересечения медиан также является его центром (центроидом, ортоцентром, центром вписанной и описанной окружностей). Таким образом, отрезок $MS$ соединяет вершину пирамиды с центром её основания, а значит, $MS$ является высотой пирамиды.

Обозначим высоту пирамиды как $h$. По условию задачи нам дано, что её длина $h = MS = 1$.

Объём пирамиды $V$ вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h$ где $S_{осн}$ – площадь основания, а $h$ – высота пирамиды.

В данной задаче $S_{осн}$ – это площадь треугольника $ABC$, которую необходимо найти. Объём пирамиды по условию равен $V=1$.

Подставим все известные значения в формулу объёма: $1 = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot 1$

Теперь решим полученное уравнение относительно $S_{ABC}$: $1 = \frac{S_{ABC}}{3}$

Умножив обе части уравнения на 3, получаем: $S_{ABC} = 3$

Ответ: 3.

5. Диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6, высота пирамиды равна 4. Найдите длину бокового ребра.

В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. Высота такой пирамиды опускается в центр её основания, который является точкой пересечения диагоналей квадрата.

Боковое ребро, высота пирамиды и половина диагонали основания образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:
- боковое ребро является гипотенузой (обозначим его длину как $l$);
- высота пирамиды является одним из катетов (по условию её длина $h = 4$);
- половина диагонали основания является вторым катетом.

По условию, длина диагонали основания равна 6. Следовательно, длина второго катета (половины диагонали) равна:
$\frac{6}{2} = 3$

Теперь мы можем найти длину бокового ребра (гипотенузы) по теореме Пифагора. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$l^2 = h^2 + (\frac{d}{2})^2$
$l^2 = 4^2 + 3^2$
$l^2 = 16 + 9$
$l^2 = 25$
$l = \sqrt{25} = 5$

Таким образом, длина бокового ребра пирамиды равна 5.

Ответ: 5.

6. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра равны 23. Найдите расстояние между точками D и F₁.

По условию задачи, мы имеем правильную шестиугольную призму $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, у которой все рёбра равны 23. Это означает, что сторона основания (правильного шестиугольника $ABCDEF$) равна 23, и высота призмы (длина боковых рёбер, например $AA_1$, $BB_1$, и т.д.) также равна 23.

Нам нужно найти расстояние между точками $D$ и $F_1$. Это расстояние равно длине отрезка $DF_1$.

Для нахождения длины отрезка $DF_1$ в пространстве, мы можем использовать теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DFF_1$. Этот треугольник является прямоугольным, так как призма правильная, а значит боковое ребро $FF_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Следовательно, ребро $FF_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и диагонали $DF$. Таким образом, угол $\angle DFF_1$ прямой и равен $90^\circ$.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle DFF_1$: $DF_1^2 = DF^2 + FF_1^2$

Длина катета $FF_1$ нам известна — это высота призмы, которая по условию равна длине ребра: $FF_1 = 23$

Теперь найдём длину катета $DF$. Этот отрезок является диагональю основания — правильного шестиугольника $ABCDEF$. Для этого рассмотрим треугольник $\triangle DEF$, который лежит в плоскости основания. Стороны этого треугольника $DE$ и $EF$ являются сторонами шестиугольника, поэтому их длина равна 23. $DE = EF = 23$

Внутренний угол правильного шестиугольника можно вычислить по формуле $\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$, где $n=6$. Угол равен $\frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$. Таким образом, угол $\angle DEF = 120^\circ$.

Для нахождения длины стороны $DF$ в треугольнике $\triangle DEF$ воспользуемся теоремой косинусов: $DF^2 = DE^2 + EF^2 - 2 \cdot DE \cdot EF \cdot \cos(\angle DEF)$ Подставим известные значения: $DF^2 = 23^2 + 23^2 - 2 \cdot 23 \cdot 23 \cdot \cos(120^\circ)$ Так как $\cos(120^\circ) = -1/2$, получаем: $DF^2 = 23^2 + 23^2 - 2 \cdot 23^2 \cdot (-\frac{1}{2})$ $DF^2 = 2 \cdot 23^2 + 23^2 = 3 \cdot 23^2$ Отсюда находим длину диагонали $DF$: $DF = \sqrt{3 \cdot 23^2} = 23\sqrt{3}$

Теперь мы можем подставить найденные длины катетов $DF$ и $FF_1$ в исходную формулу теоремы Пифагора для нахождения гипотенузы $DF_1$: $DF_1^2 = (23\sqrt{3})^2 + 23^2$ $DF_1^2 = (3 \cdot 23^2) + 23^2$ $DF_1^2 = 23^2 \cdot (3 + 1) = 23^2 \cdot 4$

Извлекая квадратный корень, находим искомое расстояние: $DF_1 = \sqrt{23^2 \cdot 4} = \sqrt{23^2} \cdot \sqrt{4} = 23 \cdot 2 = 46$

Ответ: 46

7. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра равны 49. Найдите угол E₁EA₁. Ответ дайте в градусах.

Дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, у которой все рёбра равны 49. Это значит, что сторона основания (правильного шестиугольника) равна 49, и высота призмы (длина бокового ребра) также равна 49.

Нам необходимо найти угол $\angle E_1EA_1$. Этот угол является одним из углов треугольника $\triangle E_1EA_1$. Рассмотрим этот треугольник, чтобы найти его элементы.

Поскольку призма правильная, она является прямой. Это означает, что её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. В частности, боковое ребро $EE_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Отрезок $E_1A_1$ полностью лежит в плоскости верхнего основания. Следовательно, ребро $EE_1$ перпендикулярно отрезку $E_1A_1$. Отсюда следует, что угол $\angle EE_1A_1 = 90^\circ$, и треугольник $\triangle E_1EA_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $E_1$.

Для нахождения угла $\angle E_1EA_1$ в этом прямоугольном треугольнике нам нужно найти длины его катетов: $EE_1$ и $E_1A_1$.

1. Катет $EE_1$ является боковым ребром призмы. По условию, все рёбра равны 49, значит, $EE_1 = 49$.

2. Катет $E_1A_1$ является диагональю в основании — правильном шестиугольнике $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ со стороной $a = 49$. Диагональ $E_1A_1$ соединяет вершины через одну (вершину $F_1$), поэтому она является малой диагональю шестиугольника. Длина малой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{3}$. Таким образом, $E_1A_1 = 49\sqrt{3}$.

Теперь, зная длины обоих катетов в прямоугольном треугольнике $\triangle EE_1A_1$, мы можем найти тангенс искомого угла $\angle E_1EA_1$: $$ \tan(\angle E_1EA_1) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{E_1A_1}{EE_1} $$ Подставим найденные значения: $$ \tan(\angle E_1EA_1) = \frac{49\sqrt{3}}{49} = \sqrt{3} $$

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^\circ$. Следовательно, искомый угол $\angle E_1EA_1 = 60^\circ$.

Ответ: 60

8. Высота конуса равна 4, а диаметр основания равен 6. Найдите образующую конуса.

Для нахождения образующей конуса воспользуемся теоремой Пифагора. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, в котором высота конуса, радиус основания и образующая образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике высота ($h$) и радиус ($r$) являются катетами, а образующая ($l$) — гипотенузой.

По условию задачи нам даны:
Высота конуса $h = 4$.
Диаметр основания $d = 6$.

Сначала найдём радиус основания конуса. Радиус равен половине диаметра:
$r = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Теперь применим теорему Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$l^2 = h^2 + r^2$
Подставим известные значения высоты и радиуса в формулу:
$l^2 = 4^2 + 3^2$
$l^2 = 16 + 9$
$l^2 = 25$
Чтобы найти длину образующей, извлечём квадратный корень из 25:
$l = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: 5

9. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2π, а диаметр основания равен 1. Найдите высоту цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется по формуле, связывающей радиус основания $r$ и высоту $h$: $S_{бок} = 2 \pi r h$.

Поскольку диаметр основания $d$ связан с радиусом соотношением $d = 2r$, формулу можно переписать, используя диаметр:

$S_{бок} = (2r) \pi h = \pi d h$

Из условия задачи нам даны:

Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 2\pi$.

Диаметр основания $d = 1$.

Подставим известные значения в формулу $S_{бок} = \pi d h$ и найдем высоту $h$:

$2\pi = \pi \cdot 1 \cdot h$

$2\pi = \pi h$

Чтобы найти $h$, разделим обе части уравнения на $\pi$:

$h = \frac{2\pi}{\pi}$

$h = 2$

Ответ: 2

10. Во сколько раз увеличится объём куба, если все его рёбра увеличить в 3 раза?

Объём куба ($V$) вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ — это длина его ребра.

Обозначим первоначальную длину ребра куба как $a_1$. Тогда его первоначальный объём $V_1$ равен:

$V_1 = a_1^3$

Согласно условию, все рёбра увеличили в 3 раза. Новая длина ребра, $a_2$, будет в 3 раза больше первоначальной:

$a_2 = 3 \cdot a_1$

Теперь найдём новый объём куба, $V_2$, с ребром $a_2$:

$V_2 = (a_2)^3 = (3a_1)^3 = 3^3 \cdot a_1^3 = 27a_1^3$

Чтобы определить, во сколько раз увеличился объём, найдём отношение нового объёма $V_2$ к первоначальному $V_1$:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{27a_1^3}{a_1^3} = 27$

Таким образом, при увеличении рёбер куба в 3 раза его объём увеличивается в 27 раз.

Ответ: в 27 раз.

11. Диагональ грани куба равна 8. Найдите его объём.

Пусть $a$ — длина ребра куба, а $d$ — длина диагонали его грани.

Грань куба является квадратом со стороной $a$. Диагональ этого квадрата $d$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат два ребра куба.

По теореме Пифагора для этого треугольника можно записать: $a^2 + a^2 = d^2$

Упростим выражение: $2a^2 = d^2$

По условию задачи дано, что диагональ грани куба равна $d = \sqrt{8}$. Подставим это значение в полученную формулу: $2a^2 = (\sqrt{8})^2$

Выполним вычисления: $2a^2 = 8$

Теперь найдем квадрат длины ребра, разделив обе части уравнения на 2: $a^2 = \frac{8}{2} = 4$

Отсюда находим длину ребра куба $a$: $a = \sqrt{4} = 2$

Объём куба $V$ вычисляется по формуле $V = a^3$. Подставив найденное значение $a$, получим: $V = 2^3 = 8$

Ответ: 8

12. Объём прямоугольного параллелепипеда равен 60, а площадь одной из его граней равна 12. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное к этой грани.

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется как произведение площади его основания ($S_{осн}$) на высоту ($h$). В более общем смысле, объём можно найти, умножив площадь любой грани на длину ребра, перпендикулярного этой грани.

Формула для объёма выглядит следующим образом: $V = S \cdot h$, где $S$ — это площадь одной из граней, а $h$ — это длина ребра, перпендикулярного этой грани.

Согласно условию задачи, нам известны:
1. Объём параллелепипеда: $V = 60$.
2. Площадь одной из его граней: $S = 12$.

Требуется найти длину ребра, перпендикулярного этой грани, то есть $h$.

Подставим известные значения в формулу объёма:
$60 = 12 \cdot h$

Теперь выразим из этого уравнения искомую высоту $h$, разделив объём на площадь грани:
$h = \frac{60}{12}$

Выполним деление:
$h = 5$

Следовательно, длина ребра параллелепипеда, перпендикулярного к грани с площадью 12, равна 5.
Ответ: 5

13. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объём параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.

Пусть три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, имеют длины $a$, $b$ и $c$. Эти величины являются его измерениями (длиной, шириной и высотой).

По условию задачи даны длины двух рёбер: $a = 2$ и $b = 6$. Также известен объём параллелепипеда: $V = 48$. Необходимо найти длину третьего ребра $c$.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле, которая связывает его измерения:$V = a \cdot b \cdot c$

Подставим известные значения в эту формулу:$48 = 2 \cdot 6 \cdot c$

Выполним умножение в правой части уравнения:$48 = 12 \cdot c$

Чтобы найти неизвестную длину ребра $c$, нужно разделить объём $V$ на произведение длин двух других известных рёбер ($a \cdot b$):$c = \frac{48}{12}$

$c = 4$

Таким образом, длина третьего ребра параллелепипеда, выходящего из той же вершины, равна 4.

Ответ: 4