Номер 6, страница 233 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

6. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра равны 23. Найдите расстояние между точками D и F₁.

По условию задачи, мы имеем правильную шестиугольную призму $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, у которой все рёбра равны 23. Это означает, что сторона основания (правильного шестиугольника $ABCDEF$) равна 23, и высота призмы (длина боковых рёбер, например $AA_1$, $BB_1$, и т.д.) также равна 23.

Нам нужно найти расстояние между точками $D$ и $F_1$. Это расстояние равно длине отрезка $DF_1$.

Для нахождения длины отрезка $DF_1$ в пространстве, мы можем использовать теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DFF_1$. Этот треугольник является прямоугольным, так как призма правильная, а значит боковое ребро $FF_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Следовательно, ребро $FF_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и диагонали $DF$. Таким образом, угол $\angle DFF_1$ прямой и равен $90^\circ$.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle DFF_1$: $DF_1^2 = DF^2 + FF_1^2$

Длина катета $FF_1$ нам известна — это высота призмы, которая по условию равна длине ребра: $FF_1 = 23$

Теперь найдём длину катета $DF$. Этот отрезок является диагональю основания — правильного шестиугольника $ABCDEF$. Для этого рассмотрим треугольник $\triangle DEF$, который лежит в плоскости основания. Стороны этого треугольника $DE$ и $EF$ являются сторонами шестиугольника, поэтому их длина равна 23. $DE = EF = 23$

Внутренний угол правильного шестиугольника можно вычислить по формуле $\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$, где $n=6$. Угол равен $\frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$. Таким образом, угол $\angle DEF = 120^\circ$.

Для нахождения длины стороны $DF$ в треугольнике $\triangle DEF$ воспользуемся теоремой косинусов: $DF^2 = DE^2 + EF^2 - 2 \cdot DE \cdot EF \cdot \cos(\angle DEF)$ Подставим известные значения: $DF^2 = 23^2 + 23^2 - 2 \cdot 23 \cdot 23 \cdot \cos(120^\circ)$ Так как $\cos(120^\circ) = -1/2$, получаем: $DF^2 = 23^2 + 23^2 - 2 \cdot 23^2 \cdot (-\frac{1}{2})$ $DF^2 = 2 \cdot 23^2 + 23^2 = 3 \cdot 23^2$ Отсюда находим длину диагонали $DF$: $DF = \sqrt{3 \cdot 23^2} = 23\sqrt{3}$

Теперь мы можем подставить найденные длины катетов $DF$ и $FF_1$ в исходную формулу теоремы Пифагора для нахождения гипотенузы $DF_1$: $DF_1^2 = (23\sqrt{3})^2 + 23^2$ $DF_1^2 = (3 \cdot 23^2) + 23^2$ $DF_1^2 = 23^2 \cdot (3 + 1) = 23^2 \cdot 4$

Извлекая квадратный корень, находим искомое расстояние: $DF_1 = \sqrt{23^2 \cdot 4} = \sqrt{23^2} \cdot \sqrt{4} = 23 \cdot 2 = 46$

Ответ: 46