Номер 7, страница 233 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

7. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра равны 49. Найдите угол E₁EA₁. Ответ дайте в градусах.

Дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, у которой все рёбра равны 49. Это значит, что сторона основания (правильного шестиугольника) равна 49, и высота призмы (длина бокового ребра) также равна 49.

Нам необходимо найти угол $\angle E_1EA_1$. Этот угол является одним из углов треугольника $\triangle E_1EA_1$. Рассмотрим этот треугольник, чтобы найти его элементы.

Поскольку призма правильная, она является прямой. Это означает, что её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. В частности, боковое ребро $EE_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Отрезок $E_1A_1$ полностью лежит в плоскости верхнего основания. Следовательно, ребро $EE_1$ перпендикулярно отрезку $E_1A_1$. Отсюда следует, что угол $\angle EE_1A_1 = 90^\circ$, и треугольник $\triangle E_1EA_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $E_1$.

Для нахождения угла $\angle E_1EA_1$ в этом прямоугольном треугольнике нам нужно найти длины его катетов: $EE_1$ и $E_1A_1$.

1. Катет $EE_1$ является боковым ребром призмы. По условию, все рёбра равны 49, значит, $EE_1 = 49$.

2. Катет $E_1A_1$ является диагональю в основании — правильном шестиугольнике $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ со стороной $a = 49$. Диагональ $E_1A_1$ соединяет вершины через одну (вершину $F_1$), поэтому она является малой диагональю шестиугольника. Длина малой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{3}$. Таким образом, $E_1A_1 = 49\sqrt{3}$.

Теперь, зная длины обоих катетов в прямоугольном треугольнике $\triangle EE_1A_1$, мы можем найти тангенс искомого угла $\angle E_1EA_1$: $$ \tan(\angle E_1EA_1) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{E_1A_1}{EE_1} $$ Подставим найденные значения: $$ \tan(\angle E_1EA_1) = \frac{49\sqrt{3}}{49} = \sqrt{3} $$

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^\circ$. Следовательно, искомый угол $\angle E_1EA_1 = 60^\circ$.

Ответ: 60