Страница 234 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

14. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро призмы равно 5. Найдите объём призмы.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами $a = 6$ и $b = 8$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Найдем площадь основания:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$.

Поскольку призма прямая, ее высота $h$ равна боковому ребру. Согласно условию задачи, боковое ребро равно 5, следовательно, $h = 5$.

Теперь можно вычислить объем призмы, умножив площадь основания на высоту:
$V = S_{осн} \cdot h = 24 \cdot 5 = 120$.

Ответ: 120.

15. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы.

Объем призмы, обозначим его $V_{исх}$, вычисляется по формуле $V = S \cdot h$, где $S$ - площадь основания, а $h$ - высота призмы. По условию, объем исходной призмы равен 32.

Секущая плоскость проходит через среднюю линию основания. Средняя линия отсекает от треугольника-основания меньший треугольник, который является основанием для новой, отсеченной призмы.

Этот меньший треугольник подобен исходному треугольнику-основанию. Коэффициент подобия $k$ равен $\frac{1}{2}$, так как по определению средняя линия соединяет середины двух сторон треугольника, а сама она параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Таким образом, отношение площади основания отсеченной призмы ($S_{отс}$) к площади основания исходной призмы ($S_{исх}$) составляет:$\frac{S_{отс}}{S_{исх}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$Отсюда следует, что $S_{отс} = \frac{1}{4}S_{исх}$.

Поскольку секущая плоскость параллельна боковому ребру, отсеченная фигура также является треугольной призмой. Ее высота совпадает с высотой исходной призмы ($h$), так как их основания лежат в одних и тех же параллельных плоскостях.

Объем отсеченной призмы, $V_{отс}$, вычисляется как произведение площади ее основания на высоту:$V_{отс} = S_{отс} \cdot h$Подставим выражение для $S_{отс}$ через $S_{исх}$:$V_{отс} = \left(\frac{1}{4}S_{исх}\right) \cdot h = \frac{1}{4} (S_{исх} \cdot h)$

Так как объем исходной призмы $V_{исх} = S_{исх} \cdot h = 32$, то объем отсеченной призмы равен:$V_{отс} = \frac{1}{4} \cdot V_{исх} = \frac{1}{4} \cdot 32 = 8$.

Ответ: 8

16. Найдите объём правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 1, а боковое ребро равно 3.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

В условии дана правильная шестиугольная призма. Это означает, что в основании лежит правильный шестиугольник, а боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Следовательно, высота призмы $h$ равна её боковому ребру.

По условию задачи нам даны:

• сторона основания $a = 1$;
• боковое ребро (высота) $h = \sqrt{3}$.

1. Найдём площадь основания ($S_{осн}$).

Основание призмы — правильный шестиугольник со стороной $a = 1$. Правильный шестиугольник можно разделить на шесть одинаковых равносторонних треугольников, сторона каждого из которых равна стороне шестиугольника.

Площадь равностороннего треугольника ($S_{\triangle}$) со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Подставим в формулу значение $a=1$: $S_{\triangle} = \frac{1^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Площадь всего шестиугольника равна сумме площадей шести таких треугольников: $S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдём объём призмы ($V$).

Теперь, зная площадь основания и высоту, вычислим объём призмы: $V = S_{осн} \cdot h$.

Подставим числовые значения $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ и $h = \sqrt{3}$: $V = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$.

Ответ: 4.5

17. Найдите объём призмы, основанием которой является правильный шестиугольник со стороной, равной 2, а боковое ребро равно 23 и наклонено к плоскости основания под углом в 30°.

Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ – площадь основания, а $H$ – высота призмы.

1. Нахождение площади основания

Основанием призмы является правильный шестиугольник со стороной $a = 2$. Площадь правильного шестиугольника можно найти по формуле, зная, что он состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$:

$S_{осн} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Подставим значение стороны $a = 2$:

$S_{осн} = \frac{3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 4 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$.

2. Нахождение высоты призмы

Высота призмы $H$ может быть найдена через длину бокового ребра $l$ и угол его наклона к плоскости основания $\alpha$. Боковое ребро, его проекция на основание и высота призмы образуют прямоугольный треугольник, где боковое ребро является гипотенузой, а высота – катетом, противолежащим углу $\alpha$.

Следовательно, $H = l \cdot \sin(\alpha)$.

По условию, $l = 2\sqrt{3}$ и $\alpha = 30^\circ$.

$H = 2\sqrt{3} \cdot \sin(30^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}$.

3. Вычисление объёма призмы

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем вычислить объём призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18$.

Ответ: 18.

18. Боковые рёбра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны, и каждое из них равно 3. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана треугольная пирамида, у которой боковые рёбра, выходящие из одной вершины, попарно перпендикулярны. Обозначим эту вершину как S, а основание — как ABC. Тогда боковыми рёбрами будут SA, SB и SC.

Из условия задачи следует, что:

• $SA \perp SB$
• $SB \perp SC$
• $SA \perp SC$
• $SA = SB = SC = 3$

Такую пирамиду можно рассматривать как "угол" прямоугольного параллелепипеда. Для нахождения объёма пирамиды воспользуемся стандартной формулой: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота.

В качестве основания пирамиды удобно выбрать одну из боковых граней, например, грань, образованную рёбрами SA и SB, то есть треугольник ASB.

Поскольку $SA \perp SB$, треугольник ASB является прямоугольным, а его катеты равны SA и SB. Площадь этого прямоугольного треугольника будет: $S_{осн} = S_{\triangle ASB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4,5$.

Теперь определим высоту пирамиды относительно этого основания. Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины C на плоскость основания ASB. По условию, ребро SC перпендикулярно как SA, так и SB. Поскольку SA и SB — это две пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости основания ASB, то ребро SC перпендикулярно всей плоскости ASB.

Таким образом, ребро SC и является высотой пирамиды. Длина высоты $h$ равна длине ребра SC: $h = SC = 3$.

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу для объёма пирамиды: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 4,5 \cdot 3 = 4,5$.

Ответ: 4,5

19. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4, а её объём равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

Объём пирамиды ($V$) вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

В данной задаче основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Найдём площадь этого прямоугольника:$S_{осн} = 3 \cdot 4 = 12$.

Объём пирамиды известен из условия и равен $V = 16$.

Теперь подставим известные значения площади основания и объёма в формулу для объёма пирамиды, чтобы найти её высоту $h$:$16 = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot h$

Упростим выражение:$16 = 4 \cdot h$

Отсюда выразим и найдём высоту $h$:$h = \frac{16}{4}$$h = 4$

Таким образом, высота пирамиды равна 4.

Ответ: 4

20. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 12, а объём пирамиды равен 200. Найдите боковое ребро пирамиды.

Объём правильной четырёхугольной пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $V$ – объём, $S_{осн}$ – площадь основания, а $H$ – высота пирамиды.

По условию задачи, высота $H = 12$, а объём $V = 200$. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти площадь основания пирамиды:
$200 = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot 12$
$200 = 4 \cdot S_{осн}$
$S_{осн} = \frac{200}{4} = 50$.

В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. Боковое ребро пирамиды ($l$), её высота ($H$) и половина диагонали основания ($d/2$) образуют прямоугольный треугольник, где боковое ребро является гипотенузой. По теореме Пифагора мы можем записать:
$l^2 = H^2 + (\frac{d}{2})^2$.

Чтобы использовать эту формулу, нам нужно найти квадрат половины диагонали основания. Площадь квадрата можно выразить через его диагональ: $S_{осн} = \frac{d^2}{2}$.
Отсюда можем найти $d^2$:
$50 = \frac{d^2}{2}$
$d^2 = 50 \cdot 2 = 100$.

Теперь найдём квадрат половины диагонали:
$(\frac{d}{2})^2 = \frac{d^2}{4} = \frac{100}{4} = 25$.

Теперь у нас есть всё необходимое, чтобы найти боковое ребро $l$. Подставим значения $H^2$ и $(\frac{d}{2})^2$ в формулу теоремы Пифагора:
$l^2 = 12^2 + 25$
$l^2 = 144 + 25$
$l^2 = 169$
$l = \sqrt{169} = 13$.

Ответ: 13

21. Найдите объём пирамиды, вершинами которой являются вершины A₁, B, C, C₁, B₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого AB = 4, AD = 3 и AA₁ = 4.

Вершинами пирамиды являются точки $A_1, B, C, C_1, B_1$. Четыре из этих вершин, а именно $B, C, C_1, B_1$, образуют боковую грань прямоугольного параллелепипеда. Эту грань можно принять за основание пирамиды. Вершиной (апексом) пирамиды в таком случае будет точка $A_1$.

1. Нахождение площади основания пирамиды.

Основание пирамиды — это прямоугольник $BCC_1B_1$. Его площадь $S_{осн}$ равна произведению длин его смежных сторон $BC$ и $BB_1$.

Согласно условию и свойствам прямоугольного параллелепипеда:

Длина ребра $BC$ равна длине ребра $AD$, то есть $BC = AD = 3$.

Длина ребра $BB_1$ равна длине ребра $AA_1$, то есть $BB_1 = AA_1 = 4$.

Таким образом, площадь основания пирамиды равна:

$S_{осн} = BC \cdot BB_1 = 3 \cdot 4 = 12$.

2. Нахождение высоты пирамиды.

Высота пирамиды $h$ — это перпендикуляр, опущенный из ее вершины $A_1$ на плоскость основания $(BCC_1)$.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, его ребро $A_1B_1$ перпендикулярно грани $BCC_1B_1$. Следовательно, длина ребра $A_1B_1$ является высотой нашей пирамиды.

Длина ребра $A_1B_1$ равна длине ребра $AB$, то есть $h = A_1B_1 = AB = 4$.

3. Вычисление объема пирамиды.

Объем пирамиды $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} h$

Подставим найденные значения площади основания и высоты:

$V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 4 = 4 \cdot 4 = 16$.

Ответ: 16.

22. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна к плоскости основания, а каждая из трёх других боковых граней наклонена к плоскости основания под углом в 60°. Высота пирамиды равна 6. Найдите объём пирамиды.

Пусть $SABCD$ — данная пирамида, где $ABCD$ — прямоугольник в основании. Пусть боковая грань $SAB$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$. Так как плоскость $SAB$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$, высота пирамиды $SH$, опущенная из вершины $S$, лежит в плоскости $SAB$, а ее основание $H$ принадлежит линии пересечения этих плоскостей, то есть стороне $AB$. По условию, высота пирамиды $SH = 6$.

Остальные три боковые грани $SBC$, $SCD$ и $SDA$ наклонены к плоскости основания под углом $60°$. Для нахождения объёма пирамиды необходимо найти площадь её основания, то есть длины сторон $AB$ и $BC$.

Нахождение стороны BC
Рассмотрим грань $SCD$. Угол наклона этой грани к плоскости основания — это линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями $SCD$ и $ABCD$. Проведём из точки $H$ на прямой $AB$ перпендикуляр $HK$ к стороне $CD$. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, $AB \parallel CD$, то $HK \perp AB$ и длина $HK$ равна длине стороны $BC$. Соединим точки $S$ и $K$. По теореме о трёх перпендикулярах, так как $SH$ — перпендикуляр к плоскости $ABCD$, а $HK$ — проекция наклонной $SK$ на эту плоскость, и $HK \perp CD$, то и сама наклонная $SK \perp CD$.
Следовательно, угол $\angle SKH$ является линейным углом двугранного угла между гранью $SCD$ и основанием. По условию $\angle SKH = 60°$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SKH$ (угол $\angle SHK = 90°$ так как $SH$ — высота).
Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:
$\text{tg}(\angle SKH) = \frac{SH}{HK} \implies \text{tg}(60°) = \frac{6}{HK}$
$\sqrt{3} = \frac{6}{HK} \implies HK = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$.
Так как $HK = BC$, то $BC = 2\sqrt{3}$.

Нахождение стороны AB
Теперь рассмотрим грани $SDA$ и $SBC$.
Для грани $SDA$: линия пересечения с основанием — $AD$. В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB \perp AD$. Так как $SH$ — высота, то $SH \perp (ABCD)$, а значит $SH \perp AD$. Прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AB$ и $SH$) плоскости $SAB$, следовательно, $AD \perp (SAB)$. Это означает, что $AD \perp SA$. Линейным углом двугранного угла между плоскостями $SDA$ и $ABCD$ будет угол $\angle SAB$, так как $SA \perp AD$ и $AB \perp AD$. По условию $\angle SAB = 60°$. В прямоугольном треугольнике $SAH$ (где $\angle SHA = 90°$), катет $AH$ равен:
$\text{tg}(\angle SAH) = \frac{SH}{AH} \implies \text{tg}(60°) = \frac{6}{AH} \implies AH = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$.

Для грани $SBC$: рассуждения аналогичны. Линия пересечения — $BC$. $AB \perp BC$ и $SH \perp BC$. Значит, $BC \perp (SAB)$, и следовательно $BC \perp SB$. Линейным углом двугранного угла будет угол $\angle SBA$, и он равен $60°$. В прямоугольном треугольнике $SBH$ (где $\angle SHB = 90°$), катет $BH$ равен:
$\text{tg}(\angle SBH) = \frac{SH}{BH} \implies \text{tg}(60°) = \frac{6}{BH} \implies BH = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$.

Точка $H$ лежит на отрезке $AB$, поэтому длина стороны $AB$ равна сумме длин отрезков $AH$ и $BH$:
$AB = AH + BH = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

Вычисление объёма пирамиды
Теперь мы знаем размеры основания: $AB = 4\sqrt{3}$ и $BC = 2\sqrt{3}$.
Площадь основания $S_{ABCD}$ равна:
$S_{ABCD} = AB \cdot BC = (4\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{3}) = 8 \cdot 3 = 24$.
Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$.
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48$.

Ответ: 48.

23. Объём прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.

Пусть $a$, $b$ и $c$ — измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина и высота). Объём $V$ прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.

По условию, параллелепипед описан около сферы. Это означает, что сфера находится внутри параллелепипеда и касается всех шести его граней.

Если сфера радиуса $r$ вписана в прямоугольный параллелепипед, то её диаметр $d = 2r$ должен быть равен каждому из трёх измерений параллелепипеда. Такое возможно, только если прямоугольный параллелепипед является кубом.

Следовательно, все рёбра параллелепипеда равны диаметру вписанной сферы: $a = b = c = d = 2r$.

Подставим это выражение для рёбер в формулу объёма: $V = (2r) \cdot (2r) \cdot (2r) = (2r)^3 = 8r^3$.

В условии задачи дано, что объём параллелепипеда равен 216. Составим и решим уравнение: $8r^3 = 216$.

Разделим обе части уравнения на 8: $r^3 = \frac{216}{8}$.

$r^3 = 27$.

Чтобы найти радиус $r$, извлечём кубический корень из 27: $r = \sqrt[3]{27}$.

$r = 3$.

Таким образом, радиус сферы равен 3.

Ответ: 3.

24. Объём первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в 3 раза больше, а радиус основания в 2 раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра. Ответ дайте в м³.

Обозначим объем, радиус основания и высоту первого цилиндра как $V_1$, $r_1$ и $h_1$ соответственно. Для второго цилиндра используем обозначения $V_2$, $r_2$ и $h_2$.

Объем цилиндра находится по формуле: $V = \pi r^2 h$, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота.

Из условия задачи известно, что объем первого цилиндра $V_1 = 12 \text{ м}^3$. Таким образом:

$V_1 = \pi r_1^2 h_1 = 12$

Также по условию, высота второго цилиндра в 3 раза больше высоты первого ($h_2 = 3h_1$), а радиус его основания в 2 раза меньше радиуса первого ($r_2 = \frac{r_1}{2}$).

Теперь выразим объем второго цилиндра $V_2$ через параметры первого цилиндра. Формула для объема второго цилиндра:

$V_2 = \pi r_2^2 h_2$

Подставим в нее выражения для $r_2$ и $h_2$:

$V_2 = \pi \left(\frac{r_1}{2}\right)^2 (3h_1) = \pi \cdot \frac{r_1^2}{4} \cdot 3h_1$

Сгруппируем множители, чтобы выделить выражение для объема первого цилиндра:

$V_2 = \frac{3}{4} (\pi r_1^2 h_1)$

Так как мы знаем, что $\pi r_1^2 h_1 = V_1$, то:

$V_2 = \frac{3}{4} V_1$

Подставим известное значение $V_1 = 12$:

$V_2 = \frac{3}{4} \cdot 12 = 3 \cdot 3 = 9$

Ответ: 9

25. Высота конуса равна 6, а образующая равна 10. Найдите отношение объёма конуса к числу π.

Для решения задачи нам нужно найти объём конуса, а затем разделить его на число $\pi$.

Объём конуса ($V$) вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$,где $r$ — радиус основания конуса, а $h$ — его высота.

В условии задачи даны высота $h = 6$ и образующая $l = 10$. Радиус основания $r$ нам неизвестен.

Высота, радиус и образующая конуса образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой, а высота и радиус — катетами. По теореме Пифагора мы можем найти радиус:$l^2 = h^2 + r^2$

Подставим известные значения:$10^2 = 6^2 + r^2$$100 = 36 + r^2$$r^2 = 100 - 36$$r^2 = 64$$r = \sqrt{64} = 8$

Теперь, зная радиус ($r=8$) и высоту ($h=6$), мы можем вычислить объём конуса:$V = \frac{1}{3} \pi \cdot r^2 \cdot h = \frac{1}{3} \pi \cdot 8^2 \cdot 6$$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 64 \cdot 6$$V = \pi \cdot 64 \cdot \frac{6}{3}$$V = \pi \cdot 64 \cdot 2$$V = 128\pi$

Найдём отношение объёма конуса к числу $\pi$:$\frac{V}{\pi} = \frac{128\pi}{\pi} = 128$

Ответ: 128

26. Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Найдите отношение объёма конуса к числу π.

По условию задачи, диаметр основания конуса $d$ равен 6. Следовательно, радиус основания $r$ равен половине диаметра:
$r = d / 2 = 6 / 2 = 3$.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Угол при вершине этого треугольника, по условию, равен $90^\circ$. Это означает, что осевое сечение является равнобедренным прямоугольным треугольником. Основание этого треугольника — это диаметр основания конуса $d=6$, а высота треугольника, проведенная к основанию, — это высота конуса $h$.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. В нашем случае гипотенузой является диаметр основания конуса. Таким образом, высота конуса $h$ равна:
$h = d / 2 = 6 / 2 = 3$.

Объём конуса $V$ вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.

Подставим найденные значения радиуса $r=3$ и высоты $h=3$ в формулу:
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot 3 = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 3 = 9\pi$.

Найдём отношение объёма конуса $V$ к числу $\pi$:
$\frac{V}{\pi} = \frac{9\pi}{\pi} = 9$.

Ответ: 9

27. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если все его рёбра увеличить в 2 раза?

Для решения этой задачи обозначим длину ребра исходного куба как $a$.

Площадь поверхности куба равна сумме площадей шести его граней. Каждая грань куба — это квадрат, поэтому площадь одной грани исходного куба составляет $S_{грань1} = a \cdot a = a^2$.

Поскольку у куба 6 одинаковых граней, его полная площадь поверхности ($S_1$) вычисляется по формуле:$S_1 = 6 \cdot a^2$.

Согласно условию, все рёбра куба увеличили в 2 раза. Таким образом, новая длина ребра стала $2a$.

Теперь найдем площадь поверхности нового куба. Площадь одной грани нового куба ($S_{грань2}$) будет равна:$S_{грань2} = (2a) \cdot (2a) = 4a^2$.

Полная площадь поверхности нового куба ($S_2$) будет, соответственно:$S_2 = 6 \cdot S_{грань2} = 6 \cdot 4a^2 = 24a^2$.

Чтобы найти, во сколько раз увеличилась площадь поверхности, необходимо найти отношение новой площади ($S_2$) к старой площади ($S_1$):$\frac{S_2}{S_1} = \frac{24a^2}{6a^2}$.

Сократив общие множители в числителе и знаменателе, получаем:$\frac{S_2}{S_1} = 4$.

Следовательно, площадь поверхности куба увеличится в 4 раза.

Ответ: в 4 раза.

28. Площадь полной поверхности данного правильного тетраэдра равна 80 см². Найдите площадь полной поверхности правильного тетраэдра, ребро которого в 4 раза меньше ребра данного тетраэдра. Ответ дайте в см².

Пусть $S_1$ и $a_1$ — площадь полной поверхности и длина ребра данного (первого) правильного тетраэдра, а $S_2$ и $a_2$ — площадь полной поверхности и длина ребра второго правильного тетраэдра.

Из условия задачи нам известно, что площадь поверхности первого тетраэдра $S_1 = 80 \text{ см}^2$. Ребро второго тетраэдра в 4 раза меньше ребра первого, что можно записать как $a_2 = \frac{a_1}{4}$.

Все правильные тетраэдры являются подобными друг другу телами. Отношение площадей поверхностей подобных тел равно квадрату их коэффициента подобия ($k$). Коэффициент подобия, в свою очередь, равен отношению их соответствующих линейных размеров (например, длин ребер).

Найдем коэффициент подобия $k$: $k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_1/4}{a_1} = \frac{1}{4}$.

Теперь мы можем записать соотношение площадей поверхностей: $\frac{S_2}{S_1} = k^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$.

Чтобы найти площадь поверхности второго тетраэдра $S_2$, выразим ее из полученного соотношения и подставим известное значение $S_1$: $S_2 = S_1 \cdot \frac{1}{16} = 80 \cdot \frac{1}{16} = \frac{80}{16} = 5$.

Таким образом, искомая площадь полной поверхности второго тетраэдра составляет 5 см?.

Ответ: 5.

29. Площадь боковой поверхности конуса равна 16 см². Радиус основания конуса уменьшили в 4 раза, а образующую увеличили в 2 раза. Найдите площадь боковой поверхности получившегося конуса. Ответ дайте в см².

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi R l$, где $R$ — это радиус основания конуса, а $l$ — длина его образующей.

Обозначим исходные параметры конуса как $R_1$ (радиус) и $l_1$ (образующая). Тогда его площадь боковой поверхности $S_1$ равна: $S_1 = \pi R_1 l_1$. По условию задачи, $S_1 = 16$ см?.

После изменений получился новый конус с параметрами $R_2$ и $l_2$. Согласно условию, радиус основания уменьшили в 4 раза, то есть: $R_2 = \frac{R_1}{4}$. Образующую увеличили в 2 раза, то есть: $l_2 = 2 l_1$.

Теперь найдем площадь боковой поверхности нового конуса $S_2$, используя его новые параметры $R_2$ и $l_2$: $S_2 = \pi R_2 l_2 = \pi \left(\frac{R_1}{4}\right) (2 l_1)$.

Перегруппируем множители в выражении, чтобы выделить исходную площадь $S_1$: $S_2 = \pi R_1 l_1 \cdot \frac{2}{4} = (\pi R_1 l_1) \cdot \frac{1}{2}$. Поскольку $S_1 = \pi R_1 l_1 = 16$, мы можем подставить это значение в полученное выражение: $S_2 = S_1 \cdot \frac{1}{2} = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$.

Таким образом, площадь боковой поверхности получившегося конуса равна 8 см?.

Ответ: 8.