Номер 18, страница 234 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

8. Задачи для подготовки к ЕГЭ - номер 18, страница 234.

18. Боковые рёбра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны, и каждое из них равно 3. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана треугольная пирамида, у которой боковые рёбра, выходящие из одной вершины, попарно перпендикулярны. Обозначим эту вершину как S, а основание — как ABC. Тогда боковыми рёбрами будут SA, SB и SC.

Из условия задачи следует, что:

• $SA \perp SB$
• $SB \perp SC$
• $SA \perp SC$
• $SA = SB = SC = 3$

Такую пирамиду можно рассматривать как "угол" прямоугольного параллелепипеда. Для нахождения объёма пирамиды воспользуемся стандартной формулой: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота.

В качестве основания пирамиды удобно выбрать одну из боковых граней, например, грань, образованную рёбрами SA и SB, то есть треугольник ASB.

Поскольку $SA \perp SB$, треугольник ASB является прямоугольным, а его катеты равны SA и SB. Площадь этого прямоугольного треугольника будет: $S_{осн} = S_{\triangle ASB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4,5$.

Теперь определим высоту пирамиды относительно этого основания. Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины C на плоскость основания ASB. По условию, ребро SC перпендикулярно как SA, так и SB. Поскольку SA и SB — это две пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости основания ASB, то ребро SC перпендикулярно всей плоскости ASB.

Таким образом, ребро SC и является высотой пирамиды. Длина высоты $h$ равна длине ребра SC: $h = SC = 3$.

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу для объёма пирамиды: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 4,5 \cdot 3 = 4,5$.

Ответ: 4,5