Номер 22, страница 234 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи для подготовки к ЕГЭ. 8 - номер 22, страница 234.

Условие.

22. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна к плоскости основания, а каждая из трёх других боковых граней наклонена к плоскости основания под углом в 60°. Высота пирамиды равна 6. Найдите объём пирамиды.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

Пусть $SABCD$ — данная пирамида, где $ABCD$ — прямоугольник в основании. Пусть боковая грань $SAB$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$. Так как плоскость $SAB$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$, высота пирамиды $SH$, опущенная из вершины $S$, лежит в плоскости $SAB$, а ее основание $H$ принадлежит линии пересечения этих плоскостей, то есть стороне $AB$. По условию, высота пирамиды $SH = 6$.

Остальные три боковые грани $SBC$, $SCD$ и $SDA$ наклонены к плоскости основания под углом $60°$. Для нахождения объёма пирамиды необходимо найти площадь её основания, то есть длины сторон $AB$ и $BC$.

Нахождение стороны BC
Рассмотрим грань $SCD$. Угол наклона этой грани к плоскости основания — это линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями $SCD$ и $ABCD$. Проведём из точки $H$ на прямой $AB$ перпендикуляр $HK$ к стороне $CD$. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, $AB \parallel CD$, то $HK \perp AB$ и длина $HK$ равна длине стороны $BC$. Соединим точки $S$ и $K$. По теореме о трёх перпендикулярах, так как $SH$ — перпендикуляр к плоскости $ABCD$, а $HK$ — проекция наклонной $SK$ на эту плоскость, и $HK \perp CD$, то и сама наклонная $SK \perp CD$.
Следовательно, угол $\angle SKH$ является линейным углом двугранного угла между гранью $SCD$ и основанием. По условию $\angle SKH = 60°$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SKH$ (угол $\angle SHK = 90°$ так как $SH$ — высота).
Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:
$\text{tg}(\angle SKH) = \frac{SH}{HK} \implies \text{tg}(60°) = \frac{6}{HK}$
$\sqrt{3} = \frac{6}{HK} \implies HK = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$.
Так как $HK = BC$, то $BC = 2\sqrt{3}$.

Нахождение стороны AB
Теперь рассмотрим грани $SDA$ и $SBC$.
Для грани $SDA$: линия пересечения с основанием — $AD$. В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB \perp AD$. Так как $SH$ — высота, то $SH \perp (ABCD)$, а значит $SH \perp AD$. Прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AB$ и $SH$) плоскости $SAB$, следовательно, $AD \perp (SAB)$. Это означает, что $AD \perp SA$. Линейным углом двугранного угла между плоскостями $SDA$ и $ABCD$ будет угол $\angle SAB$, так как $SA \perp AD$ и $AB \perp AD$. По условию $\angle SAB = 60°$. В прямоугольном треугольнике $SAH$ (где $\angle SHA = 90°$), катет $AH$ равен:
$\text{tg}(\angle SAH) = \frac{SH}{AH} \implies \text{tg}(60°) = \frac{6}{AH} \implies AH = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$.

Для грани $SBC$: рассуждения аналогичны. Линия пересечения — $BC$. $AB \perp BC$ и $SH \perp BC$. Значит, $BC \perp (SAB)$, и следовательно $BC \perp SB$. Линейным углом двугранного угла будет угол $\angle SBA$, и он равен $60°$. В прямоугольном треугольнике $SBH$ (где $\angle SHB = 90°$), катет $BH$ равен:
$\text{tg}(\angle SBH) = \frac{SH}{BH} \implies \text{tg}(60°) = \frac{6}{BH} \implies BH = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$.

Точка $H$ лежит на отрезке $AB$, поэтому длина стороны $AB$ равна сумме длин отрезков $AH$ и $BH$:
$AB = AH + BH = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

Вычисление объёма пирамиды
Теперь мы знаем размеры основания: $AB = 4\sqrt{3}$ и $BC = 2\sqrt{3}$.
Площадь основания $S_{ABCD}$ равна:
$S_{ABCD} = AB \cdot BC = (4\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{3}) = 8 \cdot 3 = 24$.
Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$.
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48$.

Ответ: 48.