Страница 228 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

863. Расстояние между двумя фокусами эллипса равно 42, а отношение большой и малой полуосей равно 3. а) Напишите уравнение этого эллипса в системе координат Оху, где О — середина отрезка, соединяющего фокусы, лежащие на оси Ох. б) Найдите эксцентриситет эллипса. в) Напишите уравнения директрис эллипса в системе координат Оху.

По условию задачи, фокусы эллипса лежат на оси Ox, а его центр совпадает с началом координат O. Следовательно, каноническое уравнение эллипса имеет вид: $$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$ где $a$ — большая полуось, а $b$ — малая полуось.

Расстояние между фокусами эллипса равно $2c$. По условию, это расстояние составляет $4\sqrt{2}$. $$ 2c = 4\sqrt{2} $$ Отсюда находим расстояние от центра до фокуса $c$: $$ c = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} $$

Отношение большой и малой полуосей равно 3: $$ \frac{a}{b} = 3 \implies a = 3b $$

Для эллипса справедливо соотношение, связывающее полуоси и фокусное расстояние: $$ a^2 = b^2 + c^2 $$

а) Напишите уравнение этого эллипса в системе координат Oxy, где O — середина отрезка, соединяющего фокусы, лежащие на оси Ox.

Для нахождения параметров $a$ и $b$ составим систему уравнений на основе имеющихся данных: $$ \begin{cases} a = 3b \\ a^2 = b^2 + c^2 \end{cases} $$ Подставив $c = 2\sqrt{2}$ и выражение для $a$ из первого уравнения во второе, получим: $$ (3b)^2 = b^2 + (2\sqrt{2})^2 $$ $$ 9b^2 = b^2 + 4 \cdot 2 $$ $$ 9b^2 = b^2 + 8 $$ $$ 8b^2 = 8 $$ $$ b^2 = 1 $$ Так как $b$ — это длина, $b > 0$, поэтому $b=1$.

Теперь найдем большую полуось $a$: $$ a = 3b = 3 \cdot 1 = 3 $$ Соответственно, $a^2 = 9$.

Подставив найденные значения $a^2=9$ и $b^2=1$ в каноническое уравнение эллипса, получаем искомое уравнение: $$ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{1} = 1 $$ Ответ: $\frac{x^2}{9} + y^2 = 1$.

б) Найдите эксцентриситет эллипса.

Эксцентриситет эллипса $e$ определяется как отношение фокусного расстояния $c$ к большой полуоси $a$: $$ e = \frac{c}{a} $$ Мы уже нашли, что $c = 2\sqrt{2}$ и $a = 3$. Подставим эти значения в формулу: $$ e = \frac{2\sqrt{2}}{3} $$ Ответ: $e = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

в) Напишите уравнения директрис эллипса в системе координат Oxy.

Директрисы эллипса, канонически расположенного относительно осей координат, — это две прямые, перпендикулярные большой оси. Их уравнения имеют вид: $$ x = \pm \frac{a}{e} \quad \text{или, что то же самое,} \quad x = \pm \frac{a^2}{c} $$ Воспользуемся второй формулой, так как значения $a^2$ и $c$ нам известны ($a^2=9$, $c=2\sqrt{2}$): $$ x = \pm \frac{9}{2\sqrt{2}} $$ Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $$ x = \pm \frac{9 \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \pm \frac{9\sqrt{2}}{4} $$ Таким образом, эллипс имеет две директрисы. Ответ: $x = \pm \frac{9\sqrt{2}}{4}$.

864. Исследуйте взаимное расположение эллипса x²9+ y²4= 1 и прямой, проходящей через точки с координатами (1; −1) и (3; 1).

Для того чтобы исследовать взаимное расположение эллипса и прямой, необходимо сначала найти уравнение этой прямой, а затем определить количество общих точек у прямой и эллипса, решив систему уравнений.

1. Нахождение уравнения прямой

Найдем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $A(1; -1)$ и $B(3; 1)$. Воспользуемся каноническим уравнением прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} $

Подставим координаты точек $A$ и $B$ в эту формулу: $ \frac{x - 1}{3 - 1} = \frac{y - (-1)}{1 - (-1)} $ $ \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{2} $

Умножим обе части уравнения на 2: $ x - 1 = y + 1 $ Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение прямой с угловым коэффициентом: $ y = x - 2 $

Ответ: Уравнение прямой: $ y = x - 2 $.

2. Нахождение точек пересечения эллипса и прямой

Теперь найдем точки пересечения эллипса $ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 $ и прямой $ y = x - 2 $. Для этого решим систему уравнений: $ \begin{cases} \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \\ y = x - 2 \end{cases} $

Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое: $ \frac{x^2}{9} + \frac{(x - 2)^2}{4} = 1 $

Чтобы избавиться от дробей, умножим все уравнение на наименьший общий знаменатель, равный 36: $ 36 \cdot \frac{x^2}{9} + 36 \cdot \frac{(x - 2)^2}{4} = 36 \cdot 1 $ $ 4x^2 + 9(x - 2)^2 = 36 $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $ 4x^2 + 9(x^2 - 4x + 4) = 36 $ $ 4x^2 + 9x^2 - 36x + 36 = 36 $ $ 13x^2 - 36x = 0 $

Мы получили неполное квадратное уравнение. Решим его, вынеся $x$ за скобку: $ x(13x - 36) = 0 $ Это уравнение имеет два различных действительных корня: $ x_1 = 0 $ $ 13x - 36 = 0 \implies 13x = 36 \implies x_2 = \frac{36}{13} $

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение прямой $y = x - 2$:

• При $x_1 = 0$, $ y_1 = 0 - 2 = -2 $. Первая точка пересечения: $(0; -2)$.
• При $x_2 = \frac{36}{13}$, $ y_2 = \frac{36}{13} - 2 = \frac{36}{13} - \frac{26}{13} = \frac{10}{13} $. Вторая точка пересечения: $(\frac{36}{13}; \frac{10}{13})$.

Ответ: Прямая пересекает эллипс в двух точках с координатами $(0; -2)$ и $(\frac{36}{13}; \frac{10}{13})$.

3. Вывод о взаимном расположении

Поскольку система уравнений, составленная из уравнений эллипса и прямой, имеет два различных действительных решения, это означает, что прямая и эллипс имеют две общие точки. Прямая, имеющая с эллипсом две общие точки, называется секущей.

Ответ: Прямая, проходящая через точки $(1; -1)$ и $(3; 1)$, является секущей для эллипса $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ и пересекает его в двух точках: $(0; -2)$ и $(\frac{36}{13}; \frac{10}{13})$.

865. Исследуйте взаимное расположение эллипса x²16 + y²4= 1 и: а) окружности радиуса 7 с центром в начале координат; б) окружности радиуса 2 с центром в точке (2; 0).

а)

Для исследования взаимного расположения эллипса и окружности необходимо найти их точки пересечения. Для этого решим систему уравнений, состоящую из уравнения эллипса и уравнения окружности.

Уравнение эллипса: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$.

Уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{7}$ имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$, то есть $x^2 + y^2 = 7$.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1 \\ x^2 + y^2 = 7 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y^2$: $y^2 = 7 - x^2$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{x^2}{16} + \frac{7 - x^2}{4} = 1$

Умножим обе части уравнения на 16, чтобы избавиться от знаменателей:

$x^2 + 4(7 - x^2) = 16$

$x^2 + 28 - 4x^2 = 16$

$-3x^2 = 16 - 28$

$-3x^2 = -12$

$x^2 = 4$

Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение $y^2 = 7 - x^2$.

Так как $x^2 = 4$ для обоих значений $x$, получаем:

$y^2 = 7 - 4 = 3$

Отсюда $y_1 = \sqrt{3}$ и $y_2 = -\sqrt{3}$.

Таким образом, мы получили четыре точки пересечения:

$(2, \sqrt{3})$, $(2, -\sqrt{3})$, $(-2, \sqrt{3})$, $(-2, -\sqrt{3})$.

Поскольку система имеет четыре различных действительных решения, эллипс и окружность пересекаются в четырех точках.

Ответ: Эллипс и окружность пересекаются в четырех точках.

б)

Исследуем взаимное расположение эллипса и второй окружности.

Уравнение эллипса: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$.

Уравнение окружности с центром в точке (2, 0) и радиусом $R = 2$ имеет вид $(x-2)^2 + (y-0)^2 = 2^2$, то есть $(x-2)^2 + y^2 = 4$.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1 \\ (x-2)^2 + y^2 = 4 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y^2$: $y^2 = 4 - (x-2)^2$. Раскроем скобки: $y^2 = 4 - (x^2 - 4x + 4) = 4 - x^2 + 4x - 4 = 4x - x^2$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{x^2}{16} + \frac{4x - x^2}{4} = 1$

Умножим обе части уравнения на 16:

$x^2 + 4(4x - x^2) = 16$

$x^2 + 16x - 4x^2 = 16$

$-3x^2 + 16x - 16 = 0$

$3x^2 - 16x + 16 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 256 - 192 = 64 = 8^2$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, используя уравнение $y^2 = 4x - x^2$.

Для $x_1 = 4$:

$y^2 = 4(4) - 4^2 = 16 - 16 = 0$. Отсюда $y=0$. Получаем точку $(4, 0)$.

Для $x_2 = \frac{4}{3}$:

$y^2 = 4\left(\frac{4}{3}\right) - \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{3} - \frac{16}{9} = \frac{48 - 16}{9} = \frac{32}{9}$. Отсюда $y = \pm\sqrt{\frac{32}{9}} = \pm\frac{4\sqrt{2}}{3}$. Получаем две точки: $(\frac{4}{3}, \frac{4\sqrt{2}}{3})$ и $(\frac{4}{3}, -\frac{4\sqrt{2}}{3})$.

Всего мы получили три различные точки пересечения. Точка $(4, 0)$ является общей точкой, в которой кривые касаются друг друга (это правая вершина эллипса). Две другие точки $(\frac{4}{3}, \pm\frac{4\sqrt{2}}{3})$ являются точками пересечения.

Ответ: Эллипс и окружность пересекаются в двух точках и касаются в одной точке.

866. Асимптоты гиперболы проходят через начало координат и составляют с осью Ох углы в 60°. Расстояние между фокусами, лежащими на оси Ох, равно 4. а) Напишите уравнение этой гиперболы в системе координат Оху. б) Найдите эксцентриситет гиперболы. в) Напишите уравнения директрис гиперболы в системе координат Оху.

а) Поскольку фокусы гиперболы лежат на оси $Ox$, а ее асимптоты проходят через начало координат, центр гиперболы находится в точке $(0, 0)$. Каноническое уравнение такой гиперболы имеет вид: $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $, где $a$ – действительная полуось, а $b$ – мнимая полуось.

Уравнения асимптот для этой гиперболы: $y = \pm \frac{b}{a}x$. Тангенс угла $\alpha$, который асимптоты образуют с положительным направлением оси $Ox$, равен модулю их углового коэффициента, то есть $\tan(\alpha) = \frac{b}{a}$. По условию задачи, $\alpha = 60^\circ$. Таким образом, мы можем найти отношение полуосей: $ \frac{b}{a} = \tan(60^\circ) = \sqrt{3} $. Отсюда получаем соотношение: $b = a\sqrt{3}$.

Расстояние между фокусами $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0)$ равно $2c$. По условию, это расстояние равно 4. Следовательно, $2c = 4$, откуда фокусное расстояние $c = 2$.

Для любой гиперболы параметры $a$, $b$ и $c$ связаны соотношением $c^2 = a^2 + b^2$. Используя известные нам зависимости, составим систему уравнений для нахождения $a$ и $b$:
1) $b = a\sqrt{3}$
2) $c^2 = a^2 + b^2$
Подставим $c=2$ и выражение для $b$ из первого уравнения во второе:
$2^2 = a^2 + (a\sqrt{3})^2$
$4 = a^2 + 3a^2$
$4 = 4a^2$
$a^2 = 1$, что означает $a = 1$ (так как длина полуоси $a$ должна быть положительной).

Теперь найдем квадрат мнимой полуоси $b^2$, используя $a^2 = 1$:
$b^2 = (a\sqrt{3})^2 = 3a^2 = 3 \cdot 1 = 3$.

Подставляя найденные значения $a^2 = 1$ и $b^2 = 3$ в каноническое уравнение, получаем искомое уравнение гиперболы.
Ответ: $ \frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{3} = 1 $, или $ x^2 - \frac{y^2}{3} = 1 $.

б) Эксцентриситет гиперболы $\varepsilon$ вычисляется по формуле $\varepsilon = \frac{c}{a}$. Подставляя известные значения $c=2$ и $a=1$, получаем: $ \varepsilon = \frac{2}{1} = 2 $.
Ответ: $ \varepsilon = 2 $.

в) Уравнения директрис для гиперболы с фокусами на оси $Ox$ имеют вид $x = \pm \frac{a}{\varepsilon}$. Подставляя найденные значения $a=1$ и $\varepsilon=2$, находим уравнения директрис: $ x = \pm \frac{1}{2} $.
Ответ: $ x = \frac{1}{2} $ и $ x = -\frac{1}{2} $.

867. Исследуйте взаимное расположение эллипса x²9+ y²4= 1 и гиперболы y =22x.

Для исследования взаимного расположения эллипса и гиперболы найдем их точки пересечения. Для этого необходимо решить систему уравнений, задающих эти кривые:

$\begin{cases} \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \\ y = \frac{2\sqrt{2}}{x} \end{cases}$

Из второго уравнения системы выразим $y^2$:

$y^2 = \left(\frac{2\sqrt{2}}{x}\right)^2 = \frac{4 \cdot 2}{x^2} = \frac{8}{x^2}$

Теперь подставим полученное выражение для $y^2$ в уравнение эллипса:

$\frac{x^2}{9} + \frac{8/x^2}{4} = 1$

Упростим второе слагаемое:

$\frac{x^2}{9} + \frac{2}{x^2} = 1$

Это уравнение является биквадратным. Сделаем замену переменной для его решения. Пусть $t = x^2$. Поскольку по уравнению гиперболы $x \neq 0$, то $t > 0$.

$\frac{t}{9} + \frac{2}{t} = 1$

Умножим обе части уравнения на $9t$ (так как $t \neq 0$), чтобы избавиться от дробей:

$t \cdot t + 2 \cdot 9 = 1 \cdot 9t$

$t^2 + 18 = 9t$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - 9t + 18 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 9, а их произведение равно 18. Корни легко находятся: $t_1 = 3$ и $t_2 = 6$.

Оба корня положительны, что соответствует условию $t > 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$:

1. Если $t_1 = 3$, то $x^2 = 3$, откуда $x = \pm\sqrt{3}$.

2. Если $t_2 = 6$, то $x^2 = 6$, откуда $x = \pm\sqrt{6}$.

Мы получили четыре различных значения для абсциссы $x$. Для каждого из них найдем соответствующую ординату $y$, используя уравнение гиперболы $y = \frac{2\sqrt{2}}{x}$.

При $x = \sqrt{3}$, $y = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$. Точка пересечения $M_1\left(\sqrt{3}, \frac{2\sqrt{6}}{3}\right)$.

При $x = -\sqrt{3}$, $y = \frac{2\sqrt{2}}{-\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{6}}{3}$. Точка пересечения $M_2\left(-\sqrt{3}, -\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)$.

При $x = \sqrt{6}$, $y = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$. Точка пересечения $M_3\left(\sqrt{6}, \frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$.

При $x = -\sqrt{6}$, $y = \frac{2\sqrt{2}}{-\sqrt{6}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$. Точка пересечения $M_4\left(-\sqrt{6}, -\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$.

Так как система уравнений имеет четыре различных действительных решения, то эллипс и гипербола пересекаются в четырех точках.

Ответ: Эллипс и гипербола пересекаются в четырех точках с координатами: $\left(\sqrt{3}, \frac{2\sqrt{6}}{3}\right)$, $\left(-\sqrt{3}, -\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)$, $\left(\sqrt{6}, \frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$ и $\left(-\sqrt{6}, -\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$.

868. Найдите эксцентриситет и напишите уравнения директрис гиперболы y =$\frac{k}{x}$ (k > 0).

Уравнение гиперболы $y = \frac{k}{x}$ (при условии $k > 0$) можно записать в виде $xy = k$. Это уравнение представляет собой равнобочную (или прямоугольную) гиперболу, асимптотами которой являются оси координат. Чтобы найти эксцентриситет и уравнения директрис, необходимо привести это уравнение к каноническому виду $\frac{(x')^2}{a^2} - \frac{(y')^2}{b^2} = 1$. Это можно сделать, повернув систему координат на угол $\alpha = 45^\circ$, чтобы оси гиперболы совпали с осями новой системы координат.

Формулы поворота координат на угол $\alpha = 45^\circ$ связывают старые координаты $(x, y)$ с новыми $(x', y')$ следующим образом:

$x = x' \cos 45^\circ - y' \sin 45^\circ = \frac{x' - y'}{\sqrt{2}}$

$y = x' \sin 45^\circ + y' \cos 45^\circ = \frac{x' + y'}{\sqrt{2}}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение гиперболы $xy = k$:

$\left(\frac{x' - y'}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{x' + y'}{\sqrt{2}}\right) = k$

$\frac{(x')^2 - (y')^2}{2} = k$

Перепишем уравнение в канонической форме:

$\frac{(x')^2}{2k} - \frac{(y')^2}{2k} = 1$

Из канонического уравнения видно, что квадраты полуосей гиперболы равны: $a^2 = 2k$ и $b^2 = 2k$. Отсюда, действительная и мнимая полуоси равны: $a = b = \sqrt{2k}$.

Эксцентриситет

Эксцентриситет гиперболы $e$ определяется по формуле $e = \frac{c}{a}$, где $c$ — расстояние от центра до фокуса, и $c^2 = a^2 + b^2$.

Найдем $c$:

$c^2 = a^2 + b^2 = 2k + 2k = 4k \implies c = \sqrt{4k} = 2\sqrt{k}$.

Теперь можем вычислить эксцентриситет:

$e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{k}}{\sqrt{2k}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

Ответ: Эксцентриситет гиперболы равен $\sqrt{2}$.

Уравнения директрис

В новой, повернутой системе координат $(x', y')$, уравнения директрис для гиперболы имеют вид $x' = \pm \frac{a}{e}$.

Подставим значения $a$ и $e$:

$x' = \pm \frac{\sqrt{2k}}{\sqrt{2}} = \pm \sqrt{k}$.

Чтобы найти уравнения директрис в исходной системе координат $(x, y)$, необходимо выразить $x'$ через $x$ и $y$. Формула обратного преобразования для $x'$ (поворот осей на $45^\circ$):

$x' = x \cos 45^\circ + y \sin 45^\circ = \frac{x+y}{\sqrt{2}}$.

Подставим это выражение в уравнения директрис $x' = \pm \sqrt{k}$:

$\frac{x+y}{\sqrt{2}} = \pm \sqrt{k}$.

Умножив обе части на $\sqrt{2}$, получаем уравнения директрис в исходной системе координат:

$x+y = \pm \sqrt{2k}$.

Ответ: Уравнения директрис: $x+y - \sqrt{2k} = 0$ и $x+y + \sqrt{2k} = 0$.

869. Парабола задана уравнением у = ах² + bу + с. Напишите уравнение директрисы этой параболы и найдите координаты её фокуса.

Для того чтобы найти уравнение директрисы и координаты фокуса параболы, заданной общим уравнением $y = ax^2 + bx + c$, необходимо привести это уравнение к каноническому виду $(x - h)^2 = 4p(y - k)$. В этом уравнении точка $(h, k)$ является вершиной параболы, а $p$ — фокальным параметром.

Выполним приведение уравнения к каноническому виду путем выделения полного квадрата по переменной $x$:

1. Исходное уравнение: $y = ax^2 + bx + c$.

2. Перенесем $c$ в левую часть и вынесем $a$ за скобки в правой:

$y - c = a(x^2 + \frac{b}{a}x)$

3. Чтобы в скобках получить полный квадрат, добавим к обеим частям уравнения слагаемое $a(\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a}$:

$y - c + \frac{b^2}{4a} = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)$

4. Упростим левую часть и свернем правую в полный квадрат:

$y - \frac{4ac - b^2}{4a} = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$

5. Разделим обе части на $a$, чтобы получить окончательный канонический вид:

$\left(x - \left(-\frac{b}{2a}\right)\right)^2 = \frac{1}{a}\left(y - \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$

Сравнивая полученное уравнение с канонической формой $(x - h)^2 = 4p(y - k)$, мы определяем параметры параболы:

Координаты вершины $(h, k)$: $h = -\frac{b}{2a}$, $k = \frac{4ac - b^2}{4a}$.

Фокальный параметр $p$: из соотношения $4p = \frac{1}{a}$ следует, что $p = \frac{1}{4a}$.

Теперь мы можем найти искомые элементы параболы.

Уравнение директрисы этой параболы

Директриса параболы с вертикальной осью симметрии является горизонтальной прямой, которая задается уравнением $y = k - p$. Подставляем найденные значения для $k$ и $p$:

$y = \frac{4ac - b^2}{4a} - \frac{1}{4a}$

Объединив дроби, получаем окончательное уравнение директрисы:

$y = \frac{4ac - b^2 - 1}{4a}$

Ответ: $y = \frac{4ac - b^2 - 1}{4a}$

Координаты её фокуса

Фокус параболы с вертикальной осью симметрии находится в точке с координатами $(h, k+p)$. Подставляем найденные значения для $h$, $k$ и $p$:

Абсцисса фокуса: $x_F = h = -\frac{b}{2a}$

Ордината фокуса: $y_F = k + p = \frac{4ac - b^2}{4a} + \frac{1}{4a} = \frac{4ac - b^2 + 1}{4a}$

Таким образом, фокус находится в точке с данными координатами.

Ответ: $(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2 + 1}{4a})$

870. Исследуйте взаимное расположение параболы у = х² и окружности радиуса R с центром в точке (0; R) в зависимости от R.

Для исследования взаимного расположения параболы и окружности необходимо найти количество их точек пересечения. Точки пересечения являются решениями системы уравнений, описывающих данные кривые.

Уравнение параболы задано как $y = x^2$.

Уравнение окружности с центром в точке $(0; R)$ и радиусом $R$ (при $R > 0$) имеет вид: $(x-0)^2 + (y-R)^2 = R^2$, что упрощается до $x^2 + (y-R)^2 = R^2$.

Для нахождения точек пересечения решим систему уравнений:

$$\begin{cases} y = x^2 \\ x^2 + (y-R)^2 = R^2\end{cases}$$

Подставим выражение для $x^2$ из первого уравнения во второе:

$y + (y-R)^2 = R^2$

Раскроем скобки и преобразуем полученное уравнение относительно переменной $y$:

$y + y^2 - 2Ry + R^2 = R^2$

$y^2 + y(1 - 2R) = 0$

Вынесем $y$ за скобки, чтобы найти корни:

$y(y + 1 - 2R) = 0$

Это уравнение дает два возможных значения для ординаты $y$ точек пересечения:

$y_1 = 0$

$y_2 = 2R - 1$

Теперь необходимо найти соответствующие значения абсциссы $x$ из уравнения параболы $x^2 = y$. Поскольку квадрат действительного числа не может быть отрицательным, решения для $x$ существуют только при условии $y \ge 0$.

Корень $y_1 = 0$ всегда неотрицателен. При $y=0$ получаем $x^2 = 0$, откуда $x=0$. Следовательно, точка $(0; 0)$ является общей точкой параболы и окружности при любом $R > 0$.

Рассмотрим второй корень $y_2 = 2R - 1$. Существование действительных решений для $x$ зависит от знака $y_2$. Проанализируем все возможные случаи в зависимости от значения радиуса $R$.

1. Случай $0 < R < 1/2$

При таких значениях $R$ имеем $2R < 1$, следовательно, $y_2 = 2R - 1 < 0$. Так как ордината точки пересечения не может быть отрицательной (поскольку $y=x^2 \ge 0$), этот корень не дает действительных точек пересечения. Единственным решением остается $y_1=0$, которому соответствует точка $(0; 0)$.

Ответ: При $0 < R < 1/2$ парабола и окружность имеют одну общую точку (точку касания) - $(0; 0)$.

2. Случай $R = 1/2$

В этом случае $y_2 = 2R - 1 = 2(1/2) - 1 = 0$. Оба корня для $y$ совпадают: $y_1 = y_2 = 0$. Уравнение для $x$ также дает единственное решение: $x^2=0 \implies x=0$. Таким образом, парабола и окружность по-прежнему имеют только одну общую точку $(0; 0)$. В этом случае окружность является соприкасающейся для параболы в ее вершине, что соответствует касанию более высокого порядка.

Ответ: При $R = 1/2$ парабола и окружность имеют одну общую точку (точку касания) - $(0; 0)$.

3. Случай $R > 1/2$

При таких значениях $R$ имеем $2R > 1$, следовательно, $y_2 = 2R - 1 > 0$. В этом случае оба корня для $y$ действительны и неотрицательны, и они различны ($y_1 = 0$, $y_2 > 0$).

Корень $y_1 = 0$ дает одну точку пересечения $(0; 0)$.

Корень $y_2 = 2R - 1$ дает уравнение $x^2 = 2R - 1$. Поскольку $2R-1 > 0$, это уравнение имеет два различных действительных корня: $x_1 = \sqrt{2R-1}$ и $x_2 = -\sqrt{2R-1}$. Это соответствует двум симметричным точкам пересечения: $(\sqrt{2R-1}; 2R-1)$ и $(-\sqrt{2R-1}; 2R-1)$.

Таким образом, в этом случае парабола и окружность имеют три различные точки пересечения.

Ответ: При $R > 1/2$ парабола и окружность имеют три точки пересечения: $(0; 0)$, $(\sqrt{2R-1}; 2R-1)$ и $(-\sqrt{2R-1}; 2R-1)$.