Номер 863, страница 228 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

863. Расстояние между двумя фокусами эллипса равно 42, а отношение большой и малой полуосей равно 3. а) Напишите уравнение этого эллипса в системе координат Оху, где О — середина отрезка, соединяющего фокусы, лежащие на оси Ох. б) Найдите эксцентриситет эллипса. в) Напишите уравнения директрис эллипса в системе координат Оху.

По условию задачи, фокусы эллипса лежат на оси Ox, а его центр совпадает с началом координат O. Следовательно, каноническое уравнение эллипса имеет вид: $$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$ где $a$ — большая полуось, а $b$ — малая полуось.

Расстояние между фокусами эллипса равно $2c$. По условию, это расстояние составляет $4\sqrt{2}$. $$ 2c = 4\sqrt{2} $$ Отсюда находим расстояние от центра до фокуса $c$: $$ c = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} $$

Отношение большой и малой полуосей равно 3: $$ \frac{a}{b} = 3 \implies a = 3b $$

Для эллипса справедливо соотношение, связывающее полуоси и фокусное расстояние: $$ a^2 = b^2 + c^2 $$

а) Напишите уравнение этого эллипса в системе координат Oxy, где O — середина отрезка, соединяющего фокусы, лежащие на оси Ox.

Для нахождения параметров $a$ и $b$ составим систему уравнений на основе имеющихся данных: $$ \begin{cases} a = 3b \\ a^2 = b^2 + c^2 \end{cases} $$ Подставив $c = 2\sqrt{2}$ и выражение для $a$ из первого уравнения во второе, получим: $$ (3b)^2 = b^2 + (2\sqrt{2})^2 $$ $$ 9b^2 = b^2 + 4 \cdot 2 $$ $$ 9b^2 = b^2 + 8 $$ $$ 8b^2 = 8 $$ $$ b^2 = 1 $$ Так как $b$ — это длина, $b > 0$, поэтому $b=1$.

Теперь найдем большую полуось $a$: $$ a = 3b = 3 \cdot 1 = 3 $$ Соответственно, $a^2 = 9$.

Подставив найденные значения $a^2=9$ и $b^2=1$ в каноническое уравнение эллипса, получаем искомое уравнение: $$ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{1} = 1 $$ Ответ: $\frac{x^2}{9} + y^2 = 1$.

б) Найдите эксцентриситет эллипса.

Эксцентриситет эллипса $e$ определяется как отношение фокусного расстояния $c$ к большой полуоси $a$: $$ e = \frac{c}{a} $$ Мы уже нашли, что $c = 2\sqrt{2}$ и $a = 3$. Подставим эти значения в формулу: $$ e = \frac{2\sqrt{2}}{3} $$ Ответ: $e = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

в) Напишите уравнения директрис эллипса в системе координат Oxy.

Директрисы эллипса, канонически расположенного относительно осей координат, — это две прямые, перпендикулярные большой оси. Их уравнения имеют вид: $$ x = \pm \frac{a}{e} \quad \text{или, что то же самое,} \quad x = \pm \frac{a^2}{c} $$ Воспользуемся второй формулой, так как значения $a^2$ и $c$ нам известны ($a^2=9$, $c=2\sqrt{2}$): $$ x = \pm \frac{9}{2\sqrt{2}} $$ Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $$ x = \pm \frac{9 \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \pm \frac{9\sqrt{2}}{4} $$ Таким образом, эллипс имеет две директрисы. Ответ: $x = \pm \frac{9\sqrt{2}}{4}$.