Номер 21, страница 237 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

21. Окружности радиусов 2 и 4 касаются в точке B. Через точку B проведена прямая, пересекающая меньшую окружность в точке A, а большую — в точке C (A и C отличны от B). Найдите отрезок BC, если AC = 32.

В данной задаче не указан тип касания окружностей (внешнее или внутреннее), поэтому необходимо рассмотреть оба случая.

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры меньшей и большей окружностей, а их радиусы $r_1 = 2$ и $r_2 = 4$ соответственно.

Ключевым свойством двух касающихся окружностей является то, что они гомотетичны относительно точки касания. Точка $A$ на меньшей окружности переходит в точку $C$ на большей окружности при гомотетии с центром в точке $B$. Коэффициент гомотетии $k$ равен отношению радиусов (с учётом знака).

1. Случай внешнего касания

При внешнем касании окружности расположены по разные стороны от общей касательной. Коэффициент гомотетии будет отрицательным: $k = -\frac{r_2}{r_1} = -\frac{4}{2} = -2$.

Преобразование гомотетии переводит точку $A$ в точку $C$, что означает выполнение векторного равенства: $\vec{BC} = k \cdot \vec{BA} = -2 \cdot \vec{BA}$.

Это равенство означает, что векторы $\vec{BC}$ и $\vec{BA}$ противоположно направлены, то есть точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$. Длины отрезков связаны соотношением $BC = 2 \cdot BA$.

Поскольку точка $B$ лежит между $A$ и $C$, длина отрезка $AC$ равна сумме длин отрезков $AB$ и $BC$:

$AC = AB + BC$

Подставим $AB = \frac{BC}{2}$ в это выражение:

$AC = \frac{BC}{2} + BC = \frac{3}{2}BC$

Из условия задачи известно, что $AC = 3\sqrt{2}$. Найдем $BC$:

$3\sqrt{2} = \frac{3}{2}BC$

$BC = 3\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} = 2\sqrt{2}$

2. Случай внутреннего касания

При внутреннем касании меньшая окружность находится внутри большей. Коэффициент гомотетии будет положительным: $k = \frac{r_2}{r_1} = \frac{4}{2} = 2$.

Векторное равенство для гомотетии будет: $\vec{BC} = k \cdot \vec{BA} = 2 \cdot \vec{BA}$.

Это равенство означает, что векторы $\vec{BC}$ и $\vec{BA}$ сонаправлены, то есть точка $A$ лежит между точками $B$ и $C$. Длины отрезков связаны соотношением $BC = 2 \cdot BA$.

Поскольку точка $A$ лежит между $B$ и $C$, длина отрезка $AC$ равна разности длин отрезков $BC$ и $BA$:

$AC = BC - BA$

У нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} BC = 2 \cdot BA \\ AC = BC - BA \end{cases}$

Подставим первое уравнение во второе:

$AC = 2 \cdot BA - BA = BA$

Следовательно, $BA = AC$. По условию $AC = 3\sqrt{2}$, значит $BA = 3\sqrt{2}$.

Теперь найдем $BC$ из первого уравнения:

$BC = 2 \cdot BA = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

Таким образом, задача имеет два возможных решения в зависимости от типа касания окружностей.

Ответ: $2\sqrt{2}$ или $6\sqrt{2}$.