Номер 15, страница 237 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

16. Задачи для подготовки к ЕГЭ - номер 15, страница 237.

Условие.

15. Окружность с центром O касается двух параллельных прямых. Касательная к окружности пересекает эти прямые в точках A и B. Найдите угол AOB.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

Решение:

Пусть окружность с центром в точке $O$ касается двух параллельных прямых $l_1$ и $l_2$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Пусть третья касательная, пересекающая $l_1$ в точке $A$ и $l_2$ в точке $B$, касается окружности в точке $K$.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки. Согласно этому свойству, отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны, а отрезок, соединяющий эту точку с центром окружности, является биссектрисой угла, образованного касательными.

1. Для точки $A$ касательными являются отрезки $AM$ (часть прямой $l_1$) и $AK$. Следовательно, отрезок $OA$ является биссектрисой угла $MAK$. Это означает, что $\angle OAK = \frac{1}{2} \angle MAK$.

2. Аналогично, для точки $B$ касательными являются отрезки $BN$ (часть прямой $l_2$) и $BK$. Следовательно, отрезок $OB$ является биссектрисой угла $NBK$. Это означает, что $\angle OBK = \frac{1}{2} \angle NBK$.

По условию, прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны ($l_1 \parallel l_2$). Прямая $AB$ является секущей для этих параллельных прямых. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна $180^\circ$. В нашем случае это углы $MAB$ и $NBA$ (которые также можно обозначить как $\angle MAK$ и $\angle NBK$).
Таким образом, мы имеем равенство: $\angle MAK + \angle NBK = 180^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Сумма его внутренних углов равна $180^\circ$:
$\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$.

Заметим, что $\angle OAB$ это тот же угол, что и $\angle OAK$, а $\angle OBA$ это тот же угол, что и $\angle OBK$. Подставим в уравнение суммы углов треугольника выражения для этих углов, полученные из свойства биссектрис:
$\angle OAB = \frac{1}{2} \angle MAK$
$\angle OBA = \frac{1}{2} \angle NBK$

Получаем:
$\angle AOB + \frac{1}{2} \angle MAK + \frac{1}{2} \angle NBK = 180^\circ$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:
$\angle AOB + \frac{1}{2} (\angle MAK + \angle NBK) = 180^\circ$

Теперь подставим известное нам значение суммы углов $\angle MAK + \angle NBK = 180^\circ$:
$\angle AOB + \frac{1}{2} (180^\circ) = 180^\circ$
$\angle AOB + 90^\circ = 180^\circ$

Отсюда находим искомый угол $AOB$:
$\angle AOB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Ответ: $90^\circ$.