Номер 12, страница 237 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

12. Диагональ равнобедренной трапеции равна 10 и образует угол в 60° с основанием трапеции. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD$ – большее основание). По условию, диагональ $AC = 10$, а угол, который она образует с большим основанием $AD$, равен $60^\circ$, то есть $\angle CAD = 60^\circ$. Необходимо найти среднюю линию трапеции.

Средняя линия трапеции, обозначим ее $m$, вычисляется по формуле, как полусумма ее оснований:

$m = \frac{AD + BC}{2}$

Для решения задачи проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. Мы получим прямоугольный треугольник $ACH$ с прямым углом $\angle CHA = 90^\circ$.

В этом треугольнике нам известны гипотенуза $AC=10$ и острый угол $\angle CAH = 60^\circ$. Мы можем найти катет $AH$, который является проекцией диагонали на большее основание. Используем для этого косинус угла $\angle CAH$:

$\cos(\angle CAH) = \frac{AH}{AC}$

$AH = AC \cdot \cos(60^\circ)$

Поскольку $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, то:

$AH = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$

Теперь воспользуемся известным свойством равнобедренной трапеции. В равнобедренной трапеции длина отрезка, соединяющего вершину и основание высоты, проведенной из этой вершины (в нашем случае $AH$), равна полусумме оснований.

Докажем это. Проведем вторую высоту $BK$ из вершины $B$ на то же основание $AD$. Так как трапеция равнобедренная, то отрезки $AK$ и $HD$ равны: $AK = HD$. Четырехугольник $BCHK$ является прямоугольником, поскольку $BC \parallel AD$ и высоты $BK$ и $CH$ перпендикулярны $AD$. Следовательно, $KH = BC$.

Длина большего основания $AD$ может быть представлена как сумма отрезков: $AD = AK + KH + HD$.

Подставим $KH=BC$ и $HD=AK$:

$AD = AK + BC + AK = 2 \cdot AK + BC$

Отсюда можно выразить $AK$: $AK = \frac{AD - BC}{2}$.

Отрезок $AH$, который мы нашли, состоит из двух частей: $AH = AK + KH$. Подставив известные нам выражения для $AK$ и $KH$, получим:

$AH = \frac{AD - BC}{2} + BC = \frac{AD - BC + 2 \cdot BC}{2} = \frac{AD + BC}{2}$

Таким образом, мы доказали, что длина отрезка $AH$ равна средней линии трапеции $m$.

Поскольку мы вычислили, что $AH = 5$, то и средняя линия трапеции равна 5.

Ответ: 5