Номер 10, страница 240 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

10. Почему (при одинаковой глубине) в узких местах русла реки её течение быстрее, чем в широких? А что будет, если ширина одинаковая, а глубина разная?

Почему (при одинаковой глубине) в узких местах русла реки её течение быстрее, чем в широких?

Это явление объясняется фундаментальным физическим принципом, известным как уравнение неразрывности струи (или закон сохранения массы для жидкости). Для практически несжимаемой жидкости, какой является вода в реке, этот принцип гласит, что объем воды, проходящий через любое поперечное сечение русла за единицу времени, является постоянной величиной. Этот объем называется расходом воды и обозначается буквой $Q$.

Расход воды вычисляется по формуле:

$Q = S \cdot v$

где:

• $S$ — площадь поперечного сечения русла,
• $v$ — средняя скорость течения в этом сечении.

Поскольку расход воды вдоль реки постоянен ($Q = \text{const}$), то произведение площади сечения на скорость течения также должно быть постоянным:

$S \cdot v = \text{const}$

Площадь поперечного сечения $S$ можно рассчитать как произведение ширины реки $w$ на ее глубину $h$: $S = w \cdot h$.

Рассмотрим два участка реки: широкий (с шириной $w_1$ и скоростью $v_1$) и узкий (с шириной $w_2$ и скоростью $v_2$). По условию, глубина $h$ на обоих участках одинакова.

Тогда площади их сечений равны $S_1 = w_1 \cdot h$ и $S_2 = w_2 \cdot h$. Так как $w_1 > w_2$, то и $S_1 > S_2$.

Из условия постоянства расхода следует, что $S_1 \cdot v_1 = S_2 \cdot v_2$.

Поскольку площадь $S_2$ в узком месте меньше, чем площадь $S_1$ в широком, для сохранения равенства скорость $v_2$ должна быть больше скорости $v_1$. Иными словами, чтобы "протолкнуть" тот же объем воды через более узкое "горлышко", вода вынуждена двигаться быстрее.

Ответ: В узких местах русла площадь поперечного сечения меньше. Согласно уравнению неразрывности, чтобы через это меньшее сечение за то же время прошел такой же объем воды, что и через широкое, скорость течения должна быть выше.

А что будет, если ширина одинаковая, а глубина разная?

В этом случае применяется тот же самый принцип постоянства расхода воды: $Q = S \cdot v = \text{const}$.

Рассмотрим два участка реки с одинаковой шириной $w$, но разной глубиной: глубокий (с глубиной $h_1$ и скоростью $v_1$) и мелкий (с глубиной $h_2$ и скоростью $v_2$).

Площади поперечных сечений будут равны $S_1 = w \cdot h_1$ и $S_2 = w \cdot h_2$.

Поскольку глубокий участок имеет большую глубину ($h_1 > h_2$), его площадь поперечного сечения также будет больше ($S_1 > S_2$).

Из равенства $S_1 \cdot v_1 = S_2 \cdot v_2$ следует, что скорость течения обратно пропорциональна площади сечения. Там, где площадь сечения больше (глубокий участок), скорость течения будет меньше. А там, где площадь сечения меньше (мелкий участок), скорость течения будет больше.

Это можно наблюдать в природе: на глубоких плесах течение реки спокойное и медленное, а на мелких перекатах — быстрое и бурное.

Ответ: Если ширина реки одинаковая, а глубина разная, то течение будет быстрее в более мелких местах (перекатах) и медленнее в более глубоких (плесах), так как на мелководье площадь поперечного сечения русла меньше.