Номер 12, страница 241 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи с практическим содержанием - номер 12, страница 241.

Условие.

12. Из одного цилиндрического сосуда диаметром 15 см жидкость перелита в другой цилиндрический сосуд диаметром 5 см. Во сколько раз уровень жидкости в узком сосуде выше, чем в широком?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой объема цилиндра: $V = S \cdot h$, где $V$ — объем, $S$ — площадь основания, а $h$ — высота.

Обозначим параметры первого (широкого) сосуда индексом 1, а второго (узкого) — индексом 2. Таким образом, нам даны диаметры сосудов:
$d_1 = 15$ см
$d_2 = 5$ см

Поскольку жидкость переливают из одного сосуда в другой, ее объем остается неизменным. Обозначим объем жидкости как $V$. Тогда для первого и второго сосудов можно записать:
$V = V_1 = S_1 \cdot h_1$
$V = V_2 = S_2 \cdot h_2$
Отсюда следует, что $S_1 \cdot h_1 = S_2 \cdot h_2$.

Площадь основания цилиндра — это площадь круга, которая вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус основания. Так как радиус равен половине диаметра ($r = d/2$), формулу площади можно записать через диаметр:
$S = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

Подставим выражения для площадей в наше равенство:
$\frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1 = \frac{\pi d_2^2}{4} \cdot h_2$

Сократим обе части уравнения на общий множитель $\frac{\pi}{4}$:
$d_1^2 \cdot h_1 = d_2^2 \cdot h_2$

Нам необходимо найти, во сколько раз уровень жидкости в узком сосуде ($h_2$) выше, чем в широком ($h_1$). Для этого найдем отношение $\frac{h_2}{h_1}$:
$\frac{h_2}{h_1} = \frac{d_1^2}{d_2^2} = \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2$

Подставим известные значения диаметров в полученную формулу:
$\frac{h_2}{h_1} = \left(\frac{15}{5}\right)^2 = 3^2 = 9$

Следовательно, уровень жидкости в узком сосуде в 9 раз выше, чем в широком.

Ответ: 9.