Номер 16, страница 241 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

16. Куча песка имеет форму конуса, у которого длина окружности основания равна 31,4 м, а образующая равна 5,4 м. Сколько трёхтонных машин потребуется для перевозки этого песка, если 1 м³ песка весит 2 т?

Для решения этой задачи необходимо последовательно найти радиус основания конуса, его высоту, объем, затем общую массу песка и, наконец, количество требуемых машин.

1. Нахождение радиуса основания конуса (r)
Длина окружности основания конуса ($C$) связана с его радиусом ($r$) формулой $C = 2\pi r$. По условию, $C = 31,4$ м. В качестве значения $\pi$ удобно взять $3,14$, так как $31,4 = 10 \times 3,14$.
Выразим радиус из формулы: $r = \frac{C}{2\pi} = \frac{31,4}{2 \times 3,14} = \frac{31,4}{6,28} = 5$ м.
Ответ: радиус основания конуса равен 5 м.

2. Нахождение высоты конуса (h)
Радиус основания ($r$), высота ($h$) и образующая ($l$) конуса образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой. Согласно теореме Пифагора, $l^2 = r^2 + h^2$. Из условия известно, что образующая $l = 5,4$ м, а радиус мы нашли на предыдущем шаге, $r = 5$ м.
Выразим высоту $h$: $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{5,4^2 - 5^2} = \sqrt{29,16 - 25} = \sqrt{4,16}$ м.
$h \approx 2,04$ м.
Ответ: высота конуса равна $\sqrt{4,16}$ м.

3. Вычисление объема песка (V)
Куча песка имеет форму конуса, объем которого вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.
Подставим известные значения: $V = \frac{1}{3} \times 3,14 \times 5^2 \times \sqrt{4,16} = \frac{1}{3} \times 3,14 \times 25 \times \sqrt{4,16} \approx \frac{1}{3} \times 78,5 \times 2,04 \approx 53,38$ м?.
Ответ: объем песка составляет примерно 53,38 м?.

4. Определение общей массы песка (M)
Из условия известно, что 1 м? песка весит 2 тонны. Чтобы найти массу всей кучи песка, нужно ее объем умножить на плотность (массу 1 м?):
$M = V \times 2 \approx 53,38 \times 2 = 106,76$ т.
Ответ: общая масса песка составляет примерно 106,76 т.

5. Расчет необходимого количества машин
Грузоподъемность одной машины — 3 тонны. Чтобы определить, сколько машин потребуется для перевозки всего песка, разделим общую массу песка на грузоподъемность одной машины:
Количество машин = $\frac{M}{3} \approx \frac{106,76}{3} \approx 35,59$.
Поскольку нельзя заказать неполное количество машин, а весь песок необходимо перевезти, полученное значение следует округлить до ближайшего целого числа в большую сторону.
Ответ: для перевозки всего песка потребуется 36 трёхтонных машин.