Номер 22, страница 241 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи с практическим содержанием - номер 22, страница 241.

22. При каких условиях расход жести на изготовление консервных банок цилиндрической формы заданной ёмкости будет наименьшим? Другими словами, найдите размеры цилиндра данного объёма V, площадь поверхности которого наименьшая.

Для решения данной задачи необходимо найти размеры цилиндра — радиус основания $r$ и высоту $h$ — при которых площадь его полной поверхности $S$ будет наименьшей для заданного объёма $V$. Расход жести на изготовление банки пропорционален площади её полной поверхности.

1. Формулы объёма и площади поверхности

Объём цилиндра выражается формулой: $V = \pi r^2 h$

Площадь полной поверхности цилиндра, которая складывается из площади двух оснований (кругов) и площади боковой поверхности, вычисляется по формуле: $S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$

2. Выражение площади поверхности как функции одной переменной

Поскольку объём $V$ задан и является постоянной величиной, мы можем выразить одну из переменных ($h$ или $r$) через другую. Выразим высоту $h$ через радиус $r$ из формулы объёма: $h = \frac{V}{\pi r^2}$

Теперь подставим это выражение для $h$ в формулу площади поверхности, чтобы получить функцию $S$, зависящую только от одной переменной $r$: $S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \left( \frac{V}{\pi r^2} \right) = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}$

3. Нахождение минимума функции площади поверхности

Чтобы найти значение $r$, при котором площадь $S$ будет минимальной, необходимо найти производную функции $S(r)$ по переменной $r$ и приравнять её к нулю.

Найдём производную $S'(r)$: $S'(r) = \frac{d}{dr} \left( 2\pi r^2 + \frac{2V}{r} \right) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2}$

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0$

$4\pi r = \frac{2V}{r^2}$

$4\pi r^3 = 2V$

$r^3 = \frac{2V}{4\pi} = \frac{V}{2\pi}$

Отсюда находим значение радиуса, которое является кандидатом на точку минимума: $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$

Для проверки того, что это действительно точка минимума, найдём вторую производную $S''(r)$: $S''(r) = \frac{d}{dr} \left( 4\pi r - 2Vr^{-2} \right) = 4\pi + 4Vr^{-3} = 4\pi + \frac{4V}{r^3}$

Так как радиус $r$ и объём $V$ — величины строго положительные, то $S''(r) > 0$. Положительное значение второй производной в критической точке подтверждает, что это точка локального минимума. Поскольку это единственная критическая точка для $r > 0$, она является точкой глобального минимума.

4. Определение оптимальных размеров

Мы нашли оптимальный радиус. Теперь найдём соотношение между высотой и радиусом. Из шага 3 мы знаем, что $V = 2\pi r^3$. Подставим это в выражение для высоты $h = \frac{V}{\pi r^2}$: $h = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r$

Это и есть искомое условие: расход материала будет наименьшим, когда высота цилиндра равна его диаметру ($D=2r$). Такой цилиндр называется равносторонним.

Теперь найдём явные выражения для размеров цилиндра через заданный объём $V$:

• Радиус: $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$
• Высота: $h = 2r = 2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}} = \sqrt[3]{8 \cdot \frac{V}{2\pi}} = \sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}$

Ответ: Расход жести на изготовление консервной банки будет наименьшим при условии, что её высота равна диаметру основания ($h=2r$). Для цилиндра заданного объёма $V$ его оптимальные размеры равны: радиус $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$ и высота $h = \sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}$.