Номер 9, страница 230 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

9. Найдите площадь квадрата, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (рис. 236).

Для нахождения площади квадрата на клетчатой бумаге можно использовать несколько способов. Рассмотрим три из них.

Способ 1: Использование теоремы Пифагора

Площадь квадрата равна квадрату его стороны ($S = a^2$). Сторону квадрата можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного треугольника, катеты которого проходят вдоль линий сетки.Из рисунка видно, что катеты такого треугольника равны 2 клетки (2 см) и 3 клетки (3 см).По теореме Пифагора найдем квадрат длины стороны $a$:$a^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$Поскольку площадь квадрата равна $a^2$, то его площадь составляет 13 см?.

Ответ: 13 см?.

Способ 2: Метод достраивания до прямоугольника

Можно "вписать" данный квадрат в больший квадрат, стороны которого параллельны линиям сетки.Размеры этого большого квадрата будут 5?5 клеток, а его площадь — $5 \times 5 = 25$ см?.По углам этого большого квадрата останутся четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Площадь исходного квадрата можно найти, вычтя из площади большого квадрата суммарную площадь этих четырёх треугольников.Катеты каждого из этих треугольников равны 2 см и 3 см.Площадь одного такого треугольника:$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 3 \text{ см}?$Суммарная площадь четырёх треугольников:$4 \cdot S_{\triangle} = 4 \cdot 3 = 12 \text{ см}?$Теперь вычтем эту площадь из площади большого квадрата, чтобы найти площадь искомой фигуры:$S = 25 \text{ см}? - 12 \text{ см}? = 13 \text{ см}?$

Ответ: 13 см?.

Способ 3: Использование формулы площади через диагональ

Площадь квадрата также можно найти по формуле $S = \frac{d^2}{2}$, где $d$ — длина его диагонали.Найдём длину диагонали, используя теорему Пифагора. Диагональ нашего квадрата является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, идущими по линиям сетки.Из рисунка видно, что проекции диагонали на оси сетки равны 1 клетке (1 см) и 5 клеткам (5 см).Тогда квадрат длины диагонали $d$ равен:$d^2 = 1^2 + 5^2 = 1 + 25 = 26$Теперь найдём площадь квадрата по формуле:$S = \frac{d^2}{2} = \frac{26}{2} = 13 \text{ см}?$

Ответ: 13 см?.