Номер 8, страница 230 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

8. Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (рис. 235).

Для нахождения площади четырёхугольника на клетчатой бумаге можно использовать несколько способов. Все они приведут к одному и тому же результату. Рассмотрим три наиболее удобных способа.

Способ 1: Метод достраивания до прямоугольника (метод вычитания)

Этот метод заключается в том, чтобы достроить фигуру до прямоугольника, стороны которого идут по линиям сетки, найти площадь этого прямоугольника, а затем вычесть из неё площади "лишних" частей — в данном случае, четырёх прямоугольных треугольников по углам.

1. Опишем вокруг четырёхугольника прямоугольник. Его ширина будет 3 клетки (3 см), а высота — 4 клетки (4 см).
2. Площадь этого прямоугольника равна: $S_{прям} = 3 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.
3. Теперь найдём площади четырёх прямоугольных треугольников, которые дополняют четырёхугольник до прямоугольника.
   • Нижний левый треугольник имеет катеты 1 см и 2 см. Его площадь: $S_1 = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1 \text{ см}^2$.
   • Нижний правый треугольник имеет катеты 2 см и 2 см. Его площадь: $S_2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2 \text{ см}^2$.
   • Верхний правый треугольник имеет катеты 1 см и 2 см. Его площадь: $S_3 = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1 \text{ см}^2$.
   • Верхний левый треугольник имеет катеты 2 см и 2 см. Его площадь: $S_4 = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2 \text{ см}^2$.
4. Суммарная площадь этих "лишних" треугольников: $S_{лишн} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 1 + 2 + 1 + 2 = 6 \text{ см}^2$.
5. Площадь искомого четырёхугольника равна разности площадей прямоугольника и лишних треугольников: $S = S_{прям} - S_{лишн} = 12 - 6 = 6 \text{ см}^2$.

Способ 2: Метод разбиения на простые фигуры

Можно разбить четырёхугольник на более простые фигуры, площади которых легко вычислить. В данном случае удобно провести горизонтальную диагональ, которая разделит фигуру на два треугольника.

1. Проведём диагональ, соединяющую левую и правую вершины. Длина этой диагонали, которая станет общим основанием для двух треугольников, составляет 3 клетки, то есть 3 см.
2. Высота верхнего треугольника, опущенная на это основание из верхней вершины, равна 2 клеткам (2 см). Его площадь: $S_{верх} = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3 \text{ см}^2$.
3. Высота нижнего треугольника, опущенная на это же основание из нижней вершины, также равна 2 клеткам (2 см). Его площадь: $S_{нижн} = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3 \text{ см}^2$.
4. Площадь всего четырёхугольника равна сумме площадей этих двух треугольников: $S = S_{верх} + S_{нижн} = 3 + 3 = 6 \text{ см}^2$.

Способ 3: Формула Пика

Формула Пика позволяет найти площадь многоугольника, все вершины которого расположены в узлах целочисленной решётки (в точках пересечения линий сетки). Формула имеет вид: $S = В + \frac{Г}{2} - 1$, где $В$ — количество узлов сетки строго внутри многоугольника, а $Г$ — количество узлов сетки на его границе.

1. Считаем количество узлов на границе ($Г$). На сторонах четырёхугольника лежат 4 вершины и ещё 2 узла между ними (один на верхней левой стороне, другой на нижней правой). Итого: $Г = 4 + 2 = 6$.
2. Считаем количество узлов строго внутри ($В$). Внимательно посмотрев на рисунок, можно насчитать 4 таких узла.
3. Подставляем значения в формулу Пика: $S = В + \frac{Г}{2} - 1 = 4 + \frac{6}{2} - 1 = 4 + 3 - 1 = 6 \text{ см}^2$.

Ответ: 6 см².