Номер 2, страница 229 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

2. Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (рис. 229).

Для нахождения площади треугольника, изображенного на клетчатой бумаге, можно использовать несколько способов. Рассмотрим два наиболее популярных.

Способ 1: Использование формулы площади треугольника

Классическая формула для вычисления площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ – это длина основания треугольника, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию.

1. В качестве основания ($a$) удобно выбрать сторону треугольника, которая расположена на горизонтальной линии сетки. Посчитав клетки, определим её длину. Длина этой стороны составляет 3 клетки. Так как по условию размер одной клетки равен 1 см ? 1 см, то длина основания $a = 3$ см.
2. Высота ($h$) — это перпендикуляр, опущенный из вершины, противолежащей основанию, на прямую, содержащую это основание. Из рисунка видно, что высота, проведенная к выбранному основанию, равна 4 клеткам. Следовательно, $h = 4$ см.
3. Теперь подставим найденные значения длины основания и высоты в формулу площади:
   $S = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = \frac{12}{2} \text{ см}^2 = 6 \text{ см}^2$.

Способ 2: Метод достраивания до прямоугольника (метод вычитания)

Этот метод заключается в том, чтобы "вписать" данный треугольник в прямоугольник, стороны которого параллельны линиям сетки. Затем из площади этого прямоугольника вычитаются площади фигур, которые не принадлежат исходному треугольнику.

1. Опишем вокруг треугольника прямоугольник. Его вершины будут иметь координаты, соответствующие крайним точкам треугольника. Ширина прямоугольника составит $5 - 1 = 4$ клетки (4 см), а высота $5 - 1 = 4$ клетки (4 см).
2. Найдем площадь этого прямоугольника:
   $S_{прям} = 4 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 16 \text{ см}^2$.
3. Теперь найдем площади двух прямоугольных треугольников, которые являются "лишними" (находятся внутри прямоугольника, но вне нашего треугольника).
   • Площадь первого "лишнего" треугольника (в левой части прямоугольника) с катетами 1 см и 4 см:
     $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 2 \text{ см}^2$.
   • Площадь второго "лишнего" треугольника (в правой верхней части прямоугольника) с катетами 4 см и 4 см:
     $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 8 \text{ см}^2$.
4. Чтобы найти площадь искомого треугольника, вычтем из площади прямоугольника площади "лишних" треугольников:
   $S = S_{прям} - S_1 - S_2 = 16 \text{ см}^2 - 2 \text{ см}^2 - 8 \text{ см}^2 = 6 \text{ см}^2$.

Как видно, оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: 6 см?.