Номер 17, страница 230 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи для подготовки к ЕГЭ. 3 - номер 17, страница 230.

Условие.

17. Найдите площадь круга, длина окружности которого равна π.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

Для решения задачи воспользуемся двумя основными формулами для круга: формулой длины окружности и формулой площади круга.

1. Нахождение радиуса круга.
Длина окружности $C$ связана с ее радиусом $R$ формулой $C = 2\pi R$.
По условию задачи, длина окружности равна $C = \sqrt{\pi}$.
Приравняем правые части и выразим радиус:
$2\pi R = \sqrt{\pi}$
$R = \frac{\sqrt{\pi}}{2\pi}$
Чтобы упростить это выражение, вспомним, что $\pi = (\sqrt{\pi})^2$. Тогда:
$R = \frac{\sqrt{\pi}}{2(\sqrt{\pi})^2} = \frac{1}{2\sqrt{\pi}}$

2. Нахождение площади круга.
Площадь круга $S$ вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.
Подставим в эту формулу найденное значение радиуса $R = \frac{1}{2\sqrt{\pi}}$:
$S = \pi \left( \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \right)^2$
Возведем в квадрат выражение в скобках:
$S = \pi \left( \frac{1^2}{(2\sqrt{\pi})^2} \right) = \pi \left( \frac{1}{4\pi} \right)$
Сократим $\pi$ в числителе и знаменателе:
$S = \frac{\pi}{4\pi} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.