Номер 23, страница 231 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

3. Задачи для подготовки к ЕГЭ - номер 23, страница 231.

Условие.

23. Основания прямоугольной трапеции равны 2 и 8. Её площадь равна 30. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

Пусть дана прямоугольная трапеция. Обозначим её основания как $a$ и $b$, а высоту как $h$. По условию, основания равны $a = 2$ и $b = 8$. Площадь трапеции $S = 30$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти высоту трапеции $h$. В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон является высотой.
$30 = \frac{2+8}{2} \cdot h$
$30 = \frac{10}{2} \cdot h$
$30 = 5 \cdot h$
$h = \frac{30}{5} = 6$

Теперь, чтобы найти острый угол трапеции, опустим высоту из вершины тупого угла на большее основание. Это разделит трапецию на прямоугольник и прямоугольный треугольник.
Катетами этого треугольника будут высота трапеции $h$ и отрезок на большем основании, равный разности длин оснований.

Найдем длину этого отрезка (одного из катетов):
$b - a = 8 - 2 = 6$.

Итак, мы имеем прямоугольный треугольник, в котором оба катета равны 6. Острый угол этого треугольника и есть искомый острый угол трапеции. Обозначим его как $\alpha$.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета (высоты $h$) к прилежащему катету (разности оснований $b-a$).
$\tan(\alpha) = \frac{h}{b-a} = \frac{6}{6} = 1$

Угол, тангенс которого равен 1, это $45^\circ$.
Следовательно, острый угол трапеции равен $45^\circ$.

Ответ: 45