Номер 37, страница 231 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

37. Сторона равностороннего треугольника ABC равна 3. Найдите |AB + AC|.

Для решения задачи можно использовать два подхода: алгебраический (через скалярное произведение) и геометрический (через правило параллелограмма или медианы).

Способ 1: Алгебраический (через скалярное произведение)

По условию, треугольник $ABC$ — равносторонний со стороной $\sqrt{3}$. Следовательно, длины векторов, совпадающих со сторонами, равны: $|\vec{AB}| = \sqrt{3}$ и $|\vec{AC}| = \sqrt{3}$. Угол между этими векторами, выходящими из одной вершины $A$, равен углу треугольника $\angle BAC = 60^\circ$.

Для нахождения модуля суммы векторов $|\vec{AB} + \vec{AC}|$ воспользуемся свойством скалярного произведения, согласно которому квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату:

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = (\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot (\vec{AB} + \vec{AC})$

Раскроем скобки, используя дистрибутивность и коммутативность скалярного произведения:

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = \vec{AB} \cdot \vec{AB} + 2(\vec{AB} \cdot \vec{AC}) + \vec{AC} \cdot \vec{AC}$

Это выражение можно переписать через модули векторов:

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + 2 \cdot |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle BAC) + |\vec{AC}|^2$

Теперь подставим известные значения в формулу:

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(60^\circ) + (\sqrt{3})^2$

Поскольку $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = 3 + 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} + 3$

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = 3 + 3 + 3 = 9$

Чтобы найти искомый модуль, извлечем квадратный корень:

$|\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{9} = 3$

Ответ: 3

Способ 2: Геометрический (через правило медианы)

Сумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, исходящих из одной точки $A$, можно выразить через вектор медианы $AM$, проведенной к стороне $BC$. Пусть $M$ — середина стороны $BC$. По правилу сложения векторов (правило медианы):

$\vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AM}$

Следовательно, модуль искомой суммы равен удвоенной длине медианы $AM$:

$|\vec{AB} + \vec{AC}| = |2\vec{AM}| = 2 \cdot |\vec{AM}| = 2 \cdot AM$

В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к стороне, является также и высотой. Длину высоты $h$ в равностороннем треугольнике со стороной $a$ можно найти по формуле:

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

В нашем случае сторона $a = \sqrt{3}$, поэтому длина медианы (высоты) $AM$ равна:

$AM = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$

Теперь находим модуль суммы векторов:

$|\vec{AB} + \vec{AC}| = 2 \cdot AM = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$

Ответ: 3